9.1.1.2. Методи рішення кінцевих ігор

Перед рішенням гри m n її спрощують, позбуваючись від зайвих стратегій.

Стратегія A_i гравця A називається домінуючою над стратегією A_k , якщо в рядку A_i знаходяться виграші, не менші, ніж у рядку A_k і хоча б один з них більший, ніж у відповідній клітинці рядка A_k .

Якщо всі виграші рядка A_i рівні відповідним виграшам рядка A_k , то стратегія A_i називається дублюючою стратегію A_k .

Аналогічно визначаються домінуючі і дублюючі стратегії гравця B.

Наприклад, нехай гра 55 задана матрицею гри 55.

Матриця гри 5  5

Стратегії	B1	B2	B3	B4	B5
A1	4	7	2	3	4
A2	3	5	6	8	9
A3	4	4	2	2	8
A4	3	6	1	2	4
A5	3	5	6	8	9

Стратегія A₅ дублює A₂ , її необхідно видалити. Стратегія A₁ домінує над A₄. Стратегію A₄ видаляють. Результат – наступна матриця гри 35.

Матриця гри 3 х 5

Стратегії	B1	B2	B3	B4	B5
A1	4	7	2	3	4
A2	3	5	6	8	9
A3	4	4	2	2	8

Щодо гравця B, розглядаються варіанти домінування стратегій з погляду його критерію: "віддавати поменше". Тому стратегія B₃ домінує над B₄ і B₅ , а B₁ – над B₂. Відкидають стовпці: B₂, B₄ , B₅ .

Результатом є наступна матриця.

Матриця гри 3 х 2

Стратегії	B1	B3
A1	4	2
A2	3	6
A3	4	2

У матриці гри 32 A₃ дублює A₁. Остаточно отримана матриця гри 2 2.

Матриця гри 2 х 2

Стратегії	B1	B3	α
A1	4	2	2
A2	3	6	3
β	4	6

Ця гра не має "сідлової точки", виграшем є нижня ціна гри, яка дорівнює 3.

Загальне правило рішення кінцевої гри полягає в такому: нехай є гра mn, яка не має сідлової точки з матрицею a_ij (табл. 9.1). Нехай усі виграші позитивні (цього завжди можна добитися, додаючи до всіх членів матриці велике число M).

Ціна гри збільшиться на M, а рішення не зміниться.

Ціна гри в цьому випадку теж позитивна v> 0.

Необхідно знайти рішення гри, тобто дві оптимальні змішані стратегії S_a*= (p₁,p₂,…,p_m), S_b*= (q₁, q₂,…,q_n), які надають кожній стороні максимально можливий для неї середній виграш (мінімальний програш).

Знайдемо спочатку S_a* . Відомо, що якщо гравець A застосовує свою оптимальну стратегію, то гравцю B немає сенсу відступати від своєї оптимальної стратегії.

Якщо гравець A використовує оптимальні стратегії S_a*, а гравець B стане використовувати чисті стратегії B₁,B₂,…,B_n , то виграш гравця A буде не менше ніж v:

a₁₁ p₁ +a₁₂ p₂ +…+a_m1 p_m ≥ v,

a₁₂ p₁ +a₂₂ p₂ +…+a_m2 p_m ≥ v,

…………………………………. (9.2)

a_1n p₁ +a_2n p₂ +a_mn p_m≥ v.

Розділивши члени нерівності на v і обравши позначення: x_i=p_i/v, отримаємо:

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ +…+a_m1 x_m ≥ 1,

a₁₂ x₁ +a₂₂ x₂ +…+a_m2 x_m ≥ 1,

…………………………………. (9.3)

a_1n x₁ +a_2n x₂ +a_mn x_m≥ 1.

Внаслідок того, що p₁ + p₂ +…+ p_m =1, сума змінних x_i дорівнює:

x₁ + x₂ +…+ x_m =1/v . (9.4)

Значення виграшу v повинне отримати максимальне значення, тому 1/v повинне стати мінімальним.

Задача рішення гри звелася до задачі мінімізації лінійної функції змінних x_i при лінійних обмеженнях – нерівностях.

F = x₁ + x₂ +…+ x_m min . (9.5)

Задача рішення гри m n звелася до задачі лінійного програмування з обмеженнями нерівностями і змінними.

Знаючи x_i і 1/v , можна знайти p₁,p₂,…,p_m і, значить знайти S_a* .

Оптимальна стратегія гравця B знаходиться аналогічно, з тією різницею, що він прагне мінімізувати виграш, обернувши в максимум 1/v і в обмеженнях фігурує знак менше або дорівнює.

Пара задач лінійного програмування, по якій знаходять оптимальні стратегії (S_a*, S_b*), є парою подвійних задач лінійного програмування, які дають однакове значення змінних x_i і v.

Нижче наведений спрощений приклад, що підтверджує безпосередній зв'язок між теорією ігор і задачею лінійного програмування.

Нехай гравець A – дистриб'ютор нової продукції на незнайомому для нього ринку, гравець B – покупець. Гравець A зацікавлений у реалізації більшої кількості продукції, але на цьому ринку поводиться обережно. Гравець B не бажаючи втрачати гроші на придбання незнайомої продукції, теж поводиться обережно. Обидва керуються принципом мінімакса.

Гра задана матрицею 33. Елементи матриці – прибуток від реалізації продукції (виграш гравця A який відповідає стратегіям гравців).