Стратегії гравців і значення аij

Стратегії	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Складання такої матриці означає, що багатоходова гра зведена до одноходової – від гравця вимагається зробити вибір своєї стратегії.

Далі наведений приклад гри 4  5 у матричній формі (табл. 9.2).

Таблиця 9.2

Стратегії гравців і значення аij

Стратегії	B1	B2	B3	B4	B5
A1	3	4	5	2	3
A2	1	8	4	3	4
A3	10	3	1	7	6
A4	4	5	3	4	8

Виходячи з основного принципу теорії ігор – принципу обережності (перестраховочного правила "завжди розраховуй на гірше"), необхідно вибрати стратегію, при якій мінімальний виграш гравця A є максимальним. Це означає, що при найгіршому для гравця A варіанті вибору супротивника, він отримає максимальний виграш.

У цьому полягає принцип "мінімакса": "чини так, щоб при якнайгіршій для тебе поведінці супротивника отримати максимальний виграш". Для пошуку такого варіанта рішення матрицю табл. 9.2 представляють таким чином: доповнюють стовпцем з мінімальними значеннями елементів по стовпцях та знаходять максимальний з них по рядках; доповнюють рядком з максимальними значеннями елементів по рядках та знаходять мінімальний з них по стовпцях (табл. 9.3).

Таблиця 9.3

Стратегії гравців і значення аij

Стратегії	B1	B2	B3	B4	B5	αi
A1	3	4	5	2	3	2
A2	1	8	4	3	4	1
A3	10	3	1	7	6	1
A4	4	5	3	4	8	3
βj	10	8	5	7	8

Обережна стратегія A₄ гравця A забезпечує йому гарантований виграш і полягає у виборі найбільшого з якнайменших значень α (менше значення α= 3 він отримати не може). Цей виграш називається нижньою ціною гри або максиміном.

Розумний супротивник B бажає віддати менше, але повинен розраховувати на розумну поведінку гравця A. Він повинен вибрати таку стратегію β, при якій приймає якнайменше значення (β = 5, більш ніж 5 він віддати не зможе). Ця стратегія називається верхньою ціною гри або мінімаксом.

Ці стратегії гравця A і B витікають з принципу мінімакса, і називаються мінімаксними.

Поки супротивники дотримуються цих стратегій, виграш буде рівний α= 3. Якщо супротивники в припущенні майбутніх дій партнера міняють стратегії, говорять, що стратегії нестійкі відносно інформації про поведінку іншої сторони або не володіють властивістю рівноваги.

Наприклад, гравець A дізнався про те, що гравець B вибрав стратегію В₃ (з a₃₃ =1), у відповідь він вибере А₁ (з a₁₃ =5). Але гравець B, дізнавшись про це, вибере стратегію В₄, тоді виграш гравця A замість 3 стане рівним 2.

У прикладі (табл. 9.4) нижня ціна гри дорівнює верхній ціні гри α=β= =v=6.

Таблиця 9.4