Стратегії гравців і значення аij

Стратегії	B1	B2	B3	B4	αi
A1	2	4	7	5	2
A2	7	6	8	7	6
A3	5	3	4	1	1
βj	7	6	8	7

У разі, коли нижня ціна гри α дорівнює верхній ціні гри β, мінімаксні стратегії гравців є стійкими і рівними ціні гри: α=β=v.

Поки гравці дотримуються мінімаксних стратегій, виграш дорівнює 6. Якщо гравець A дізнався про стратегію B₂ гравця B і робить спробу змінити стратегію A₂ , це тільки погіршить його становище. Те ж відноситься і до гравця B. У цьому випадку пара стратегій A₂B₂ має властивість рівноваги, а виграш, що досягається в цьому випадку називається "сідловою точкою".

Термін "сідлова точка" з'явився з геометрії, де він означає точку на поверхні, де одночасно досягається мінімум по одній координаті і максимум по іншій.

Наприклад, на рис. 9.1 наведено графік сідлової точки для функції z=x²-y².

На рис. 9.2 наведено графік сідлової точки (центр "вісімки", яка утворена ізолініями) на карті висот.

Для матриці з сідловою точкою характерно те, що елемент, мінімальний у своєму рядку є максимальним у своєму стовпці.

Стратегії A_i ,B_j (A₂ ,B₂ у табл. 9.4), при яких досягається виграш "сідлова точка", називаються оптимальними чистими стратегіями, а їх сукупність – рішенням гри. Сама гра називається грою в чистих стратегіях. Для двох гравців A і B такий результат є найкращим з можливих. У прикладі табл. 9.4 гравець A виграє 6, гравець B програє 6 (але не більше).

Рис. 9.1. Сідлова точка функції z=x²-y².

Рис. 9.2. Сідлова точка на карті висот

Наявність "сідлової точки" швидше не правило, а виключення.

Наприклад, наведена далі матриця не має сідлової точки:

.

Існує обмежена кількість ігор, які завжди мають "сідлову точку", а значить, розв'язуються в чистих стратегіях.

Це ігри з повною інформацією, де кожний гравець знає всю передісторію гри, результати всіх ходів (особистих і випадкових). Прикладами таких ігор є: шашки, шахи "хрестики і нулі".

Бувають матриці з декількома сідловими точками. Наприклад, наступна матриця має чотири сідлові точки.

.

Це значення "1" у першій та другій стрічках, у першому та четвертому стовпчиках.

У матриці, що складається з однакових чисел, всі числа є сідловими точками.

У кожній грі з повною інформацією існує пара оптимальних стратегій, що дає стійкий виграш, який дорівнює ціні гри .

На відміну від ігор з чистою стратегією в іграх зі змішаною стратегією гра повторюється множину разів, перед кожним ходом гравець кидає жереб і вибирає випалу стратегію. Змішані стратегії гравців A і B позначають таким чином:

S_a =(p₁,p₂,...,p_m), S_b= (q₁,q₂,...,q_n), (9.1)

де p₁,p₂,...,p_m – вірогідності застосування гравцем A стратегій A₁,A₂,...,A_m;

q₁,q₂,...,q_n – вірогідності застосування гравцем B стратегій B₁,B₂,...,B_n.

У першому і другому випадку вірогідності в сумі дорівнюють одиниці.

Основна теорема теорії ігор свідчить: будь-яка кінцева гра двох осіб з нульовою сумою має, принаймні, одне рішення – пару оптимальних стратегій, у загальному випадку змішаних (S_a*, S_b*) і відповідну ціну v. Пара оптимальних стратегій (S_a*, S_b*), які створюють рішення гри, має таку властивість: якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то іншому не вигідно відступати від своєї.

Ця пара стратегій утворює становище рівноваги: один гравець прагне обернути виграш у максимум, інший – у мінімум.

При розумній поведінці обох встановлюється рівновага і стійкий виграш. Якщо > 0, то гра вигідна для гравця A, якщо < 0 – для його супротивника. При = 0, гра справедлива і однаково вигідна для обох учасників гри.