Розділ II. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

2.1. Вектори. Дії з векторами. Розклад вектора за базисами

Вектором називають напрямлений відрізок прямої з початком у точці і кінцем у точці .

Позначається: .

Довжиною (модулем) вектора називають відстань між точками і .

Позначається: .

Ортом (одиничним вектором)називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Колінеарними називають вектори які розміщенні на одній прямій або на паралельних прямих .

Рівними називають вектори і , якщо вони:

1) Мають однакові довжини;

2) Колінеарні;

3) Однаково направлені.

Позначаються: .

Ортом вектора називають вектор, який колінеарний вектору , однаково з ним напрямлений, має довжину, що дорівнює одиниці.

Позначається: .

Тобто або .

Сумою векторів і називають вектор , початок якого є початком вектора , а кінець є кінцем вектора , за умови, що вектор відкладено від кінця вектора .

Різницею векторів і є вектор , що в сумі з вектором дає вектор .

Добутком вектора на число є вектор який:

1) Має довжину ;

2) Напрям збігається з напрямом , якщо і протилежний при .

Позначається .

Лінійною комбінацією векторів , , ..., з дійсним коефіцієнтами , , ..., називають довільний вектор виду .

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації деяких векторів, то кажуть, що він розкладений за цими векторами.

Вектори , , ..., називають лінійно залежними, якщо існують такі числа , , ..., , що і .

Якщо рівність справджується лише при , то вектори , , ..., називають лінійно незалежними.

У просторі лінійно незалежних, упорядкованих векторів утворюють базис. Це означає, що довільний вектор простору можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. Зокрема:

1) для простору у базисі довільний вектор буде розкладений за базисом .

2) для площини у базисі довільний вектор буде поданий у вигляді . Числа називають координатами вектора у базисі простору і пишуть , а саму суму-розкладом вектора за базисом . Аналогічно для площини: - координати вектора у базисі .

Нехай задана прямокутна система координат і дана точка . Проекції радіус-вектора на осі координат називають прямокутними координатами точки або вектора .

Позначаються: .

Довжину (модуль) радіус-вектора обчислюють за формулою .

Радіус-вектор точки можна виразити через орти координатних осей наступним чином: .

Якщо у прямокутній системі координат задано і , то проекції вектора на осі координат є координатами вектора , які обчислюють і позначають наступним чином: , , .

Довжину (модуль) вектора обчислюють за формулою .

Таким чином, якщо на площині задано т. і т. , то відстань між ними відповідно дорівнює .

Нехай точка знаходиться на прямій що проходить через задані т. та т. і дано відношення , в якому точка поділяє відрізок . Тоді координати т. визначають за формулами

, ,

відповідно координати середини відрізка

, .

Розклад вектора за ортами координатних осей має вигляд: або де .

Якщо - кути, які утворює вектор з осями координат, то величини ; ; називають напрямними косинусами вектора , які визначають напрям вектора в і задовольняють рівність .

Таким чином орт вектора .

Нехай у просторі задано два вектора своїми координатами:

,

,

Тоді .

Зокрема: для площини:

для прямої:

Формули розповсюджуються на простір будь-якого виміру, тобто при додаванні (відніманні) векторів, їхні відповідні координати додають (віднімають), при множені вектора на скаляр координати вектора множать на цей скаляр.

Рівність векторів і випливає з рівності їх відповідних координат: .

Колінеарність векторів і означає, що їх координати пропорційні: , тобто .

Розклад вектора за базисом у координатній формі має вигляд:

а) для простору

,

де , , , - координати відповідних векторів у просторі.

б) для площини .

,

де , , - координати відповідних векторів на площині.

Розв’язок цієї системи лінійних рівнянь буде координатами вектора у базисі .

Скалярним добутком векторів і називають число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними: .

Властивості скалярного добутку:

1. ;

2. ;

3. ;

Якщо , то

4. ;

5. ;

6. ;

7. Напрямні косинуси вектора : ; ; ;

8. Умова перпендикулярності векторів: якщо ; то ;

9. ;

10. ;

11. .