Розділ і. Елементи лінійної алгебри

1.1. Матриці та дії з ними.

Матрицею А розміру називають прямокутну таблицю чисел, розташованих у рядках і стовпцях.

де – елементи матриці ( ,…, ; , …, )

Якщо , тобто кількість рядків однакова з кількістю стовпців, то матрицю називають квадратною матрицею -го порядку.

Квадратна матриця n-го порядку, в якій елементи для та для , називається одиничною матрицею і позначається .

Сумою двох матриць A і B однакового розміру називають матрицю C того самого розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриці А і В:

Властивості:

а)

б)

Добутком матриці A на число k називають матрицю, елементи якої отримуємо множенням усіх елементів матриці А на число k:

Властивості:

а) ;

б) .

Якщо кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B, то існує матриця добутку , причому елемент с_ij цієї матриці дорівнюють сумі добутків елементів i-го рядка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B.

Властивості:

1. 

(якщо , то матриці і називають комутативними)

2. 

3. 

4. 

Приклад:

Виконати дії над матрицями:

Розв’язування.

.

1.2. Визначники.

Визначником другого порядку називається число, що обчислюється за формулою:

Визначником третього порядку називається число, що обчислюється за формулою:

Це число дорівнює алгебраїчній сумі з шести доданків. Кожний доданок визначника є добуток трьох елементів з різних рядків та стовпців. Знаки доданків можна запам’ятати, користуючись схемами:

+

-

Властивості визначників.

1. Значення визначника не змінюється від заміни стовпців рядками.

2. Всі властивості, сформульовані для стовпців, справедливі для рядків.

3. Знак визначника змінюється на протилежний від перестановки двох довільних стовпців.

4. Визначник, що має два однакових стовпця, дорівнює нулеві.

5. Спільний множник елементів одного стовпця можна винести з знак визначника.

6. Визначник, стовпець якого складається з нулів, дорівнює нулеві.

7. Визначник, що має два пропорціональні стовпці, дорівнює нулеві.

8. Визначник, всі елементи -го стовпця якого є сумою двох доданків дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпці, крім -го, співпадають з стовпцями заданого визначника, а -тий стовпець одного з доданків має елементи , а другого – елементи .

9. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів якогось стовпця додати відповідні елементи іншого стовпця, що помножені на одне і те ж число.

Мінором елемента називається визначни -го порядку, утворений з визначника -го порядку, викресленням -го рядка та -го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається мінор цього елемента взятий з відповідним знаком.

Значення визначника дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

- розклад за елементами –го стовпця,

- розклад за елементами –го рядка.

Приклад .

Обчислити визначник:

Розв’язування.

Використаємо метод пониження порядку визначника, що базується на застосуванні теореми розкладання визначника за елементами деякого рядка (стовпця). При цьому заздалегідь, використовуючи властивості визначника, обертаємо в нуль усі, крім одного, елементи цього рядка (стовпця).

Виконаємо, наприклад, наступні перетворення. Щоб у третьому стовпці всі елементи, крім першого, стали нулями, помножимо елементи першого рядка на два, додамо їх відповідно до елементів другого рядка і запишемо замість другого рядка. Далі перший рядок помножимо на (-1) і на (-3) і додамо до третього і четвертого рядків відповідно. Одержимо визначник:

Розкладемо його за елементами третього стовпця:

Одержаний визначник третього порядку можна обчислити за правилом трикутника, або продовжити спрощення.

Розкладемо визначник за елементами другого рядка і обчислимо визначник другого порядку:

.