Приклади розв'язування задач

Приклад 1.

Нехай обсяг виготовленої продукції залежно від часу описується рівнянням (од.), - робочий час у год. Знайти продуктивність праці, швидкість і темп її зміни через годину після початку роботи і за годину до її закінчення.

Розв’язування:

Оскільки продуктивність праці , маємо: (од./год.). Тоді для швидкості та темпу зміни продуктивності одержуємо рівнянням: (од./год. ); ( од./год.). Через годину після початку роботи маємо: (од./год.); (од./год. ); 9од./год.). За годину до кінця робочого дня маємо: (од./год.); (од./год. ); (од./год.). Отримані результати показують, що на початку робочого дня продуктивність праці зростає . Під кінець роботи продуктивність праці зменшується .

Приклад 2.(визначення ліквідної ціни продукції фірми)

Нехай функція загальних витрат має вигляд . За якої ринкової ціни на одиницю продукції виробництво треба зупинити?

Розв’язування:

Як відомо, загальні витрати виробництва є сумою змінних і сталих витрат. У даній задачі змінні витрати . Точка ліквідної ціни продукції фірми визначається з умови мінімуму середніх змінних витрат

.

Знайдемо середні змінні витрати:

і розв’яжемо рівняння . Оскільки - точка мінімуму, тобто, для 20 одиниць випущеної продукції фірма досягне мінімуму середніх змінних витрат на одиницю продукції, які дорівнюватимуть (грош. од.). Це означає, що, коли ринкова ціна одиниці продукції менше 400 грош. од., фірма мінімізує загальні витрати, коли зупинить виробництво, залишивши тільки сталі витрати 700 грош. од.

Аналіз маргінальних витрат можна застосовувати і для визначення точки найбільшого прибутку від використання ресурсів (робітників, машин тощо). Якщо загальні витрати є функцією від обсягу продукції, що випускається , а обсяг продукції, у свою чергу, є функцією від кількості використаних ресурсів , то між зростанням (спаданням) продуктивності ресурсів (кількість виготовленої продукції на одиницю ресурсів, ) та спаданням (зростанням) маргінальних витрат мають місце наступні співвідношення:

1) якщо то ( продуктивність ресурсів зростає);

2) якщо то (продуктивність ресурсів падає);

3) якщо то (продуктивність ресурсів стала).

Таким чином, точка максимуму продуктивності ресурсів співпадає з точкою мінімуму маргінальних витрат.

Приклад 3.

Загальні витрати підприємства описуються функцією . Знайти точку обсягу продукції, починаючи з якої відбувається зменшення прибутку від використаної змінних факторів (робітників, машин тощо).

Розв’язування:

Функція маргінальних витрат виробництва має вигляд: . Знайдемо критичні точки цієї функції: . Оскільки - точка мінімуму маргінальних витрат і для такого обсягу випущеної продукції віддача ресурсів буде максимальною.

У сучасній економіці розрахунок ефективності виробництва передбачає порівняння маргінального доходу і маргінальних витрат, оскільки не обов’язково всяке розширення виробництва веде до адекватного зростання прибутку. Фірма повинна визначити обсяг виробництва, для якого вона отримувала б максимальний прибуток та займала стійке становище в галузі. Це може бути досягнуто за умови, що і .

Приклад 4.(максимізація прибутку)

Загальні витрати деякого виробництва описано функцією . Залежність між ціною і кількістю продукції, яку можна продати за цією ціною, має вигляд . Знайти оптимальний для підприємства обсяг випуску продукції, що відповідає максимальному прибутку.

Розв’язування:

Знайдемо загальний дохід від реалізації одиниць продукції за ціною : . Тоді прибуток . Визначимо критичні точки цієї функції: - критична точка. Похідні другого порядку і , тому .

Отже - точка максимуму функції , тобто оптимальний обсяг виробництва складає 300 одиниць продукції. При цьому ціна одиниці продукції дорівнюватиме (грош. од.), загальний дохід (грош. од.), витрати виробництва . Максимальний прибуток виробництва дорівнює (грош. од.).

Приклад 5 (оптимізація оподаткування підприємств).

Загальні витрати деякого виробництва виражено функцією і відома функція попиту . Кожна одиниця виробленої продукції обкладається податком . Якою повинна бути величина податку , щоб надходження в бюджет бути максимальні?

Розв’язування:

Користуючись умовою задачі, знайдемо залежність ціни від обсягу продукції : . Тоді функція загального доходу матиме вигляд . Сумарний податок з одиниць продукції складе . Запишемо функцію прибутку: .

Як і в попередній задачі, умовою максимуму прибутку є . Маємо: . З цього рівняння знайдемо значення , що максимізує прибуток з врахуванням поки що невідомого податку : .

Одержане значення оптимального обсягу продукції підставимо у величину сумарного податку і, у свою чергу, знайдемо умови, за яких величина буде максимальною. Отже,

.

Звідси випливає, що , максимальна величина прибутку і оптимальна (з точки зору податкового законодавства) величина податку становитиме .

Цікаво порівняти одержані результати з випадком, коли оподаткування відсутнє. Розв’язавши цю задачу на максимізацію прибутку, коли , одержимо такі результати: . Таким чином, зменшення оподаткування стимулює зростання випуску продукції і веде до збільшення прибутку від її реалізації.

Приклад 6.

Відомі функції попиту та пропозиції . Знайти: а) рівноважну ціну;

б) еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в) зміну доходу при збільшенні ціни на 8%.

Розв’язування

а) Ціна рівноваги визначається з умови ; (грош. од.) (розв’язок не задовольняє змісту задачі).

б) Еластичність попиту

.

Еластичність пропозиції

. Для ціни рівноваги маємо: Отже, і попит і пропозиція нееластичні відносно ціни. При збільшені ціни на 1% попит зменшиться на 0,75%, а пропозиція збільшиться на 0,25%.

в) При збільшені ціни на 8% від рівноважної попит зменшиться на , тому дохід збільшиться на .

Приклад 7.

Нехай функція встановлює залежність втрат виробництва від кількості продукції, що випускається.

Знайти: а) граничні витрати;

б) граничні витрати виробництва і коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції становить 100 одиниць, 20 одиниць.

Розв’язування

Граничні витрати виробництва .

Тому

Отже, чим більше виробляється продукції, тим повільніше ростуть витрати на її випуск.

Еластичність функції витрат відносно обсягу продукції . Тому для заданих обсягів продукції

Отже, якщо при обсязі випуску 100 одиниць кількості продукції, що випускається, збільшиться на 1%, відносні витрати виробництва збільшаться на 0,67%; при обсязі випуску 20 одиниць збільшення випуску продукції на 1% призведе до збільшення відносних витрат на 0,95%.