Приклади розв'язування задач
Приклад 1.
Знайти
найменше та найбільше значення функції
на відрізку
Найбільше та найменше значення функції може знаходитися в критичних точках або на кінцях інтервалу.
Знаходимо критичні точки:
точка
не
належить відрізку
.
Тому
обчислюємо значення функції в точках
;
;
:
Таким
чином найбільше значення на відрізку
функція набуває в точці
і
.
Найменше
значення
- в точці
.
Приклад 2.
Дослідити функцію та побудувати її графік.
а)
.
Область
визначення функції
Точки перетину графіка функції з осями координат.
1) з
віссю
2) з
віссю
Отже,
графік перетинає осі в точці
Інтервали зростання та складання функції
В
точці
похідна не існує. Отже критичні точки
;
;
.
Будуємо таблицю:
|
|
-4 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
+ |
0 |
- |
не існує |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
не існує |
|
0 |
|
Інтервал опуклості та викуплості.
Отже, точки підозрілі на перегин , а також , в якій друга похідна не існує.
Будуємо таблицю:
|
|
-1 |
|
0 |
|
|
- |
не існує |
+ |
0 |
+ |
|
|
не існує |
|
0 |
|
Вертикальні асимптоти:
Отже,
вертикальна
асимптота.
Похилі
асимптоти шукаємо у вигляді
Отже, похила асимптота
.
За одержаними даними будуємо графік функції.
б)
Область
визначення функції
Точки перетину графіка функції з осями координат:
а) з
віссю
б) з
віссю
Інтервали зростання та спадання функції
В точці
похідна
не існує.
Отже,
критичні точки
;
.
Будуємо таблицю.
|
|
2 |
|
4 |
|
|
- |
не існує |
+ |
0 |
- |
|
|
не існує |
|
|
|
Інтервал опуклості та викуплості.
Отже,
точки підозрілі на перегин
,
а також точка
,
в якій друга похідна не існує. Будуємо
таблицю.
|
|
2 |
|
5 |
|
|
- |
не існує |
- |
0 |
+ |
|
|
не існує |
|
|
|
Вертикальні асимптоти.
Отже, - вертикальна асимптота.
Похилі асимптоти:
Отже,
- горизонтальна асимптота
За одержаними даними будуємо графік.
4.9. Застосуванння похідних в економічних розрахунках
1. Економічних зміст похідної
Нехай
кількість виробленої продукції за
відрізок часу
характеризується функцією
.
Задача полягає в знаходженні продуктивності
праці в кожний момент часу
,
що належить відрізку
для цього складаємо відношення приросту
виробленої продукції з моменту
до
до часу, за який вироблена ця продукція.
Одержуємо середню продуктивність праці
за цей період:
.
Продуктивність праці в момент
можна визначити як граничне значення
середньої продуктивності за період
часу від
до
,
коли
,
тобто
,
що характеризує економічний зміст похідної.