Зразок виконання завдання

1) Відокремити корені аналітично і уточнити методом спроб(поділом відрізка пополам):

x⁴-x³-2x²+3x-3=0

Покладемо f(x)=x⁴-x³-2x²+3x-3, маємо (x)=4x³-3x²-4x+3. Знайдемо критичні точки, для того щоб з’ясувати проміжки монотонності:

4x³-3x²-4x+3=0, 4x(x²-1)-3(x²-1)=0, (x²-1)(4x-3)=0,

x₁=1, x₂=-1, x₃=3/4;

Складемо таблицю знаків функції:

X	-∞	-1	3/4	1	+∞
Signf(x)	+	-	-	-	+

Із таблиці видно, що рівняння має два дійсні корені:

x₁ (-∞;-1], x₂ [1, +∞).

Зменшимо проміжки на яких знаходиться корені:

X	-2	-1	1	2
Sign f(x)	+	-	-	+

Звідси випливає, що x₁ [-2;-1], x₂ [1, 2].

Уточнимо один з коренів, наприклад x₁ [-2;-1] методом дихотомії з точністю до сотень частин. Всі обрахунки зручно проводити використовуючи таку таблицю:

n	an	bn	xn=	x4n	-x3n	-2x2n	3xn	F(xn)
0	-2	-1	-1,5	5,0625	3,375	-4,5	-4,5	-3,5625
1	-2	-1,5	-1,75	9,3789	5,3594	-6,125	-5,25	0,3633
2	-1,75	-1,5	-1,63	7,0591	4,3307	-5,3138	-4,89	-1,8140
3	-1,75	-1,63	-1,69	8,1573	4,8262	-5,7122	-5,07	-0,7981
4	-1,75	-1,69	-1,72	8,7521	5,0884	-5,9168	-5,16	-0,2363
5	-1,75	-1,72	-1,73	8,9575	5,1777	-5,9858	-5,19	-0,0406
6	-1,75	-1,73	-1,74	9,1664	5,2680	-6,0552	-5,22	0,1592
7	-1,74	-1,73

x₁≈-1,73

2) Відокремити корені графічно і уточнити методом спроб(поділом відрізка пополам): x²log_0,5(x+1)=1

Перепишемо рівняння у вигляді log_0,5(x+1)=1/x², позначимо у₁=log_0,5(x+1), у₂=1/x² і побудуємо графіки даних функцій:

Рис. 8.2

Із рівняння видно, що рівняння має єдиний корінь x≈-0,8. Для уточнення кореня методом дихотомії виберемо проміжок, на кінцях якого функція має різні знаки f(x)=x²log_0,5(x+1)-1. Складемо таблицю:

x	-0,5	-0,8
Sign f(x)	-	+

Підрахуємо кількість ітерацій, необхідних для уточнення кореня з точністю до ε=0,01.

.

Для здійснення ітерацій використаємо табличний процесор Ms Excel. Для цього у комірку А2 введемо значення лівого кінця інтервалу уточнення кореня, у А3 – правого. У комірки В2:В3 введемо значення функції. Як видно з малюнка 8.3, значення функції на кінцях інтервалу різних знаків. Щоб поділити зазначений інтервал навпіл, між рядками 2 та 3 вставимо порожній рядок. В комірку А3 введемо значення =(А4+А2)/2 та скопіюємо формулу із комірки В2 в комірку В3 (дивись Рис. 8.4).

Рис. 8.3.

Рис. 8.4. Рис. 8.5.

Як видно із рисунка 8.4, на інтервалі [-0,65; -0,8] значення функції різних знаків. Вставимо порожній рядок між 3 та 4 рядком і повторимо аналогічну процедуру (Рис. 8.5). Далі поділимо навпіл інтервал [-0,725; -0,8]. Кожного разу необхідно ділити навпіл той інтервал, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків. Після п’яти ітерацій отримуємо приблизне значення кореня x≈-0,73

Рис. 8.6.