1.2. Резистивный элемент в цепи переменного тока

Предположим, что через резистивный элемент с сопротивлением R протекает переменный ток

i = I_m­ sin (ωt + ψ_i)

Напряжение на резистивном элементе

u = R·I = RI = R· I_m sin(ωt + ψ_i) = U_m sin(ωt + ψ_i)=U_m sin(ωt + ψ_u)

Из сопоставления уравнений тока и напряжения видно, что обе синусоиды имеют одну и ту же частоту и совпадают по фазе.

Амплитуда тока связана с амплитудой напряжения соотношением

I_m=U_m/R

Если обе части уравнения разделить на , то получим соотношение для действующих значений напряжения и тока на резистивном элементе

Рис. 1.5. Схема (а), графики мгновенных значений напряжения, тока в цепи с резистивным элементом (б), векторные диаграммы комплексных значений тока и напряжения этой цепи (в).

Для построения векторной диаграммы напряжения и тока цепи на комплексной плоскости запишем их комплексные амплитуды:

U_m · e ^jψu, I_m · e ^jψi,

Амплитуду напряжения можно выразить через амплитуду тока

U_m · e ^jψu = R·I_m e ^jψi = R

При расчете цепей синусоидального тока вместо векторов комплексных амплитуд принято строить векторы комплексных действующих значений напряжения и Эти векторы совпадают по направлению с векторами и отличаются от них только по величине:

e ^jψi

· e ^jψi = R·

1.3. Индуктивный элемент в цепи переменного тока

Предположим, что в индуктивном элементе с индуктивностью L имеется синусоидальный ток

i = I_m sin(ωt + ψ_i)

Этот ток создает в элементе синусоидально изменяющийся магнитный поток, который наводит в индуктивном элементе э.д.с. самоиндукции

e_L = -L - ωLI_m cos(ωt + ψ_i) или e_L = E_Lm sin(ωt + ψ_i – π/2).

Внешнее напряжение источника u=u_L уравновешивается э.д.с. самоиндукции e_L. Синусоида этого напряжения

u=u_L=L ωLI_m cos(ωt + ψ_i),

или u_L= U_Lm sin(ωt + ψ_i+π/2).

Синусоида индуктивного напряжения идеальной катушки (индуктивного элемента) опережает по фазе синусоиду тока на угол сдвига фаз π/2.

Амплитуды синусоиды напряжения на катушке

U_Lm = ωLּI_m

Действующее значение этого напряжения

U_L= ωLּI

Комплексные амплитуды и напряжения:

или

Комплексы тока и напряжения катушки =Iּe^jψi,

Произведение ωL имеет размерность сопротивления (Ом), обозначают x_L и называют индуктивным сопротивлением катушки:

x_L= ωL=2πfL

Величину jωL=jx_L называют комплексом индуктивного сопротивления. На векторной диаграмме вектор напряжения на идеальной катушке опережает по фазе вектор тока на угол сдвига фаз π/2.

Рис. 1.6. Схема (а), графики мгновенных значений тока и напряжения в цепи с идеальной катушкой (б), векторная диаграмма этой цепи (в).

Идеальный конденсатор в цепи переменного тока

Пусть к конденсатору подведено напряжение

u_c = U_m sin (ωt + ψ_u).

Ток в конденсаторе

i = C ωC U_m cos (ωt + ψ_u),

или

i=I_m sin (ωt + ψ_u+π/2)

Амплитуда тока

I_m= ωCU_m

Действующее значение тока

I= ωCU=

Величину x_c= , имеющую размерность сопротивления |x_c|= Ом, называют реактивным сопротивлением конденсатора или просто емкостным сопротивлением.

И

з уравнений видно, что синусоида тока опережает по фазе синусоиду напряжения на конденсаторе на угол сдвига фаз π/2.

Рис. 1.7. Схема (а), графики мгновенных значений напряжения и тока (б) в цепи с идеальным конденсатором, векторная диаграмма этой цепи (в).

Комплексные амплитуды напряжения и тока равны:

Разделив обе части последнего уравнения на , получим уравнение для комплексов напряжения и тока:

,

где -jx_c – комплекс емкостного сопротивления.