Тема 2. Функції багатьох змінних

Індивідуальне завдання 2.

1. Знайти область існування, область значення і лінії рівня функції

двох змінних.

2. Знайти екстремум функцій двох змінних.

3) Знайти параметри емпіричної функції за методом найменших квадратів, припускаючи що між заданими значеннями x і y існує а) лінійна, б) квадратична, в)гіперболічна залежності. Встановити, яка з функцій найточніше відображає залежність.

Зразок виконання індивідуального завдання 2.

1. а) Знайти область визначення функції двох змінних ;

б) Знайти область існування та область значень функції ;

Розв’язування

а)Областю визначення функції будуть розв’язки системи

.

Графічне зображення області див. рис.1.

б) Область існування функції – це точки площини ХОY, які задовольняють умову , або (всі внутрішні точки кола з радіусом 2, включаючи точки кривої (див. рис.2)). Область значень функції – всі невід’ємні числа, тобто .

Y Y

y=x 2

y=x-1

0 1 -2 0 2

X X

-1

(рис. 1) (рис. 2)

2. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язування.

Знайдемо спочатку точки, в яких можливо існує екстремум функції. Для цього використаємо необхідні умови екстремуму:

; .

Маємо систему

Звідси .

У точці можливо є екстремум функції. Розглянемо тепер достатню умову екстремуму:

Звідси , ,

.

Таким чином, і, крім того, .

Це означає, що у точці функція має мінімум.

3. Відомі такі значення функції від незалежної змінної .

	1	2	3	4
	5,5	4,1	2,4	2,6

Знайти параметри емпіричної функції за методом найменших квадратів, припускаючи що між заданими значеннями x і y існує а) лінійна , б) квадратична ,

в) гіперболічна залежності. Встановити, яка з функцій найточніше відображає залежність.

Розв’язування.

а) Припустимо, що залежність лінійна . Тоді необхідно знайти такі коефіцієнти і , для яких функція набуває найменше значення. Для встановлення точки мінімуму цієї функції знайдемо її частинні похідні та прирівняємо їх до нуля:

розв’язавши систему, знайдемо значення та . Для знаходження необхідних значень складемо розрахункову таблицю:

i
1	1	5,5	1	5,5	5,21	0,29
2	2	4,1	4	8,2	4,17	0,07
3	3	2,4	9	7,2	3,13	0,73
4	4	2,6	16	10,4	2,09	0.51
	10	14,6	30	31,3	14,6	1,6

Система матиме вигляд:

Розв’язавши її знайдемо ; . Отже .

Доповнимо два останніх стовпчика розрахункової таблиці.

б) Припустимо, що залежність квадратна . Тоді необхідно знайти такі коефіцієнти , , , для яких функція набуває найменше значення. Для встановлення точки мінімуму цієї функції знайдемо її частинні похідні та прирівняємо їх до нуля:

розв’язавши систему, знайдемо значення та . Для знаходження необхідних значень складемо розрахункову таблицю:

i
1	1	5,5	1	1	1	5,5	5,5	5,61	0,11
2	2	4,1	4	8	16	8,2	16,4	3,77	0,33
3	3	2,4	9	27	81	7,2	21,6	2,73	0,33
4	4	2,6	16	64	256	10,4	10,4	2,49	0.11
	10	14,6	30	100	354	31,3	85,1	14,6	0,88

Система матиме вигляд:

Розв’язавши її знайдемо ; ; . Отже . Вершина параболи , точка перетину з осями .

Доповнимо два останніх стовпчика розрахункової таблиці.

в) Припустимо, що залежність гіперболічна . Тоді необхідно знайти такі коефіцієнти і , для яких функція набуває найменше значення. Для встановлення точки мінімуму цієї функції знайдемо її частинні похідні та прирівняємо їх до нуля:

розв’язавши систему, знайдемо значення та . Для знаходження необхідних значень складемо розрахункову таблицю:

i
1	1	5,5	1	1	5,5	5,66	0,16
2	2	4,1	0,5	0,25	8,2	3,58	0,53
3	3	2,4	0,33	0,11	7,2	2,88	0,48
4	4	2,6	0,25	0,06	10,4	2,53	0.07
	10	14,6	2,08	1,42	9		1,23

Система матиме вигляд:

Розв’язавши її знайдемо ; . Отже .

Доповнимо два останніх стовпчика розрахункової таблиці.

Порівнявши числа , , ( - найменше число) робимо висновок , що точніше відображає емпіричні дані функція - тобто парабола є оптимальною функцією.