5.2 Задания для самостоятельной работы.

1. Векторы заданы в пространстве своими координатами. Найти

косинус угла между векторами и .

а)	б)
в)	г)

2. № 795, № 796, № 812, № 815, № 817-821,№ 850, № 855, № 857, № 858, № 875, № 876 [5]

Рекомендуемая литература: [7] стр. 47-57, [4] стр. 81-93.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

Тема: Расстояния между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в заданном отношении. Различные виды уравнения прямой.

6.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Расстояние между двумя точками на плоскости

Если известны координаты двух точек М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂), то расстояние между ними определяется по формуле: .

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть А(х₁, у₁) – начало, а В(х₂, у₂) конец отрезка АВ. Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Координаты точки С( х; у) находятся по формулам:

_.

Если точка С (х; у) – середина отрезка АВ, то координаты определяем по формулам .

Различные виды уравнения прямой на плоскости

- общее уравнение прямой. Вектор нормальный вектор этой прямой.

– уравнение прямой с угловым коэффициентом.

- уравнение пучка прямых с центром в точке М(х₀;у₀).

- уравнение прямой, проходящей через точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂).

Если , то прямая, проходящая через точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид .

Если , то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая параллельна оси абсцисс.

- уравнение прямой в отрезках, пересекающей координатные оси в точках М₁(а;0) и М₂(0;b).

Ч исла а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Пример:

Уравнение прямой записать в отрезках, построить прямую.

Разделим обе части уравнения на 12.

→ - уравнение прямой в отрезках.

На оси Ох прямая отсекает отрезок 6 единиц, на оси Оу -4 единицы.

2. Задания для самостоятельной работы.

1. Даны концы А(3;-5) и В(-1;1) однородного стержня. Определить координаты его центра масс.

2. Даны вершины треугольника А(1;-3),В(3;-5) и С(-5;7). Определить середины его сторон.

3. Центр масс однородного стержня находится в точке М(1;4), один из его концов в точке Р(-2;2). Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.

4. № 95, № 90, № 108 [5]

5. № 210, № 213-215, № 221, № 222 [5]

Рекомендуемая литература: [7] стр. 58-64, [4] стр. 5-28.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

Тема: Решение задач на составление уравнений прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

7.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями и . Угол между прямыми определяется по формуле .

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .

Условием перпендикулярности прямых является равенство (угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположные знаки).

Пусть заданы прямая и точка М₀(х₀;у₀). Расстояние от точки до прямой определяется по формуле .

Пример 1. Найти расстояние от точки М₀(2;-1) до прямой .

По формуле получаем лин. ед.

Пример 2.

Даны вершины треугольника АВС: А(-2;3), В(1; 12), С(11; 6). Найти:

1 ) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты СD; 3) уравнение медианы АЕ; 4) точку пересечения медианы АЕ и высоты СD.

Решение. Построим треугольник в прямоугольной системе координат по заданным точкам (рис.1).

1) Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) имеет вид . Подставим в это уравнение координаты точек А(-2;3), В(1;12). Получим → → → .

- уравнение стороны АВ.

2) Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением: k_CД=-1/k_АВ. Уравнение прямой АВ запишем в виде (уравнение прямой с угловым коэффициентом k): . Из этого уравнения определяем угловой коэффициент прямой АВ: k_АВ=3. Тогда угловой коэффициент прямой СD: k_CД=-1/3.

Для составления уравнения высоты, используем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: . Подставим в это уравнение координаты точки С(11; 6) и угловой коэффициент k_CД. Получим искомое уравнение высоты СD.

→ → - уравнение СД.

Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС. Координаты середины отрезка находятся по формулам: , , где (х₁;у₁) и (х₂;у₂) –координаты отрезка.

Используя координаты вершин В(1; 12) и С(11; 6), получим

, . Координаты точки Е(6;9).

Чтобы составить уравнение медианы АЕ, используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Подставляем координаты точек А(-2;3) и Е(6;9) в формулу, получаем: → → → .

Окончательно, уравнение медианы АЕ: .

Найдем точку К пересечения прямых АЕ и СD. Для этого решим систему уравнений

. Получим: К(62/13; 105/13).