1. Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Полный дифференциал.

Полным приращением функции в точке М(х;у) называется разность , где ∆х, ∆у - приращения аргументов.

Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения, линейная относительно ∆х и ∆у: .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями: , .

Полный дифференциал можно найти по формуле: .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем сначала частные производные , .

По формуле определяем полный дифференциал .

Дифференцирование неявных функций.

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных х и у, может быть вычислена по формуле

при условии .

Пример. . Найти .

Здесь . Найдем , . Следовательно .

Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных называются эмпирическими формулами.

Аппроксимация (приближение, сглаживание) – когда по данным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом формула не воспроизводит в точности данные наблюдений.

Для получения аппроксимирующей функции чаще всего используется метод наименьших квадратов.

Пусть в результате эксперимента получено n значений функции при соответствующих значениях аргумента. Результаты записаны в таблицу.

			…		…
			…		…

Пусть зависимость между величинами х и у линейная. Требуется найти линейное уравнение .

Параметры а и b находим, решая систему, которая называется нормальной:

.

Пример.

Результаты измерений представлены таблицей. Методом наименьших квадратов составить эмпирическую формулу, выражающую зависимость между х и y.

	1	2	3	5
	3,5	3	2,5	0,5

Построить полученную прямую и экспериментальные точки.

Решение.

В прямоугольной системе координат построим данные точки. Заметим, что точки располагаются вблизи некоторой прямой, поэтому эмпирическую формулу будем искать в виде . Для отыскания коэффициентов а и b составим нормальную систему. Расчеты поместим в таблицу.

1	1	3,5	1	3,5	3,7
2	2	3	4	6	2,94
3	3	2,5	9	7,5	2,18
4	5	0,5	25	2,5	0,66
	11	9,5	39	19,5

Нормальная система имеет вид:

Решаем систему методом Крамера:

Искомая эмпирическая формула имеет вид: .

Для контроля вычислим по этой формуле значения .

Сравнивая контрольные значения с экспериментальными данными, видим, что отклонение этих величин невелико. По любым двум значениям строим прямую. Она проходит достаточно близко к заданным точкам. Искомая прямая и экспериментальные точки изображены на рисунке 10.