2. Задания для самостоятельной работы.

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

Задачи на физический смысл производной:

№ 931, № 933 [1]

№ 1090, № 1091, № 1096, № 1099 [6]

Рекомендуемая литература: [2] стр. 70, 117-119,135-138, [7] стр. 164, 183 196, [4] стр. 192,236.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 17

Тема: Экстремумы функций. Интервалы возрастания и убывания, выпуклости, вогнутости. Наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке.

17.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется неубывающей.

Иными словами – значения возрастающей функции увеличиваются одновременно со значением аргумента.

Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , если , функция называется невозрастающей.

Признаки монотонности функции:

- если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция возрастает на этом интервале;

- если функция дифференцируема на интервале и во всех точках интервала, то функция убывает на этом интервале.

Пример. Исследовать функцию на возрастание, убывание.

на интервалах , следовательно, на этом промежутке функция возрастает (знак производной «+»).

на интервале (-1;1), следовательно, функция здесь убывает (знак производной «–»).

Экстремумы функции.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точка называется точкой минимума функции , если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если с (-) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.

Правило исследования функции на экстремум:

1. Найти критические точки функции . Для этого решить уравнение ;

2. Выбрать из них лишь те точки, которые являются внутренними точками области определения функции;

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек;

4. Вычислить значение функции в выбранных точках.

Пример. Найти экстремум функции .

1. Область определения функции: ;

2. , производная равна нулю в точке х=8 и не существует в точке х=0. Критические точки х=0 и х=8.

3. Определяем знак производной в интервалах .

Точка х=0 – точка максимума, точка х=8 – точка минимума. , .

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

Г рафик функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 7).

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рисунок 8).

Пусть функция имеет вторую производную на интервале . Тогда, если на этом интервале, то функция выпукла, если , то график функции вогнутый на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба (рисунок 9).

Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю ( ), либо не существует.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.

Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда, если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.

Пример. Исследовать функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, найти точки перегиба, если .

1. .

2. Решаем уравнение , т.е. . Получаем х=0.

3. Определяем знак второй производной в интервалах (-∞; 0) и (0; ∞). На интервале (-∞; 0) знак второй производной отрицательный , график функции выпуклый. На интервале (0; ∞) - график функции вогнутый.

4. меняет знак в точке х=0, следовательно, точка (0;5) – точка перегиба.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения либо во внутренней точке отрезка , либо на границе х₀=а или х₀=b. Если , то х₀ - критическая точка данной функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. Найти критические точки функции, т.е. решить уравнение .

2. Вычислить значение функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу .

3. Вычислить значение функции на концах отрезка в точках х=а и х=b.

4. Среди всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонна убывает или возрастает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значение принимает только на концах отрезка.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;1].

1.

х₁=0, х₂=-1, обе точки принадлежат данному отрезку;

2. f(0)=1; f(-1)=3-4+1=0;

3. f(-2)=48-32+1=17; f(1)=3+4+1=8.

4. Наименьшее значение функции на отрезке [-2;1] f(-1)= 0,

наибольшее значение функции на отрезке [-2;1] f(-2)=17.