Задания для самостоятельной работы.
1. Найти производные неявно заданных функций:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2. Найти производные функций, заданных парметрических:
а)
б)
в)
г)
3. Найти производные второго порядка от данных функций:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
4. № 896, № 897, № 898, № 903, № 908, № 910 [1]
5. № 945 – 948, № 950, № 951, № 955, № 956 [1]
Рекомендуемая литература: [2] стр. 85,97-102, 111, [7] стр. 179-182, [4] стр. 214-217.
ПРАКТИЧЕКСОЕ ЗАНЯТИЕ № 16
Тема: Использование правила Лопиталя при вычислении пределов функций. Геометрический и физический смысл производной.
16.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.
Правила Лопиталя.
Правила Лопиталя позволяют раскрыть
неопределенности вида
и
.
Предел отношения двух бесконечно малых
(б.м.) равен пределу отношения их
производных, если последний существует:
.
Пример:
Предел отношения двух бесконечно больших
(б.б.) равен пределу отношения их
производных, если последний существует:
.
Пример:
Неопределенности вида
сводятся к двум основным
,
путем тождественных преобразований.
Пример:
Геометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением
,
то производная
численно
равна угловому коэффициенту касательной
к этой кривой в точке с абсциссой
:
.
Чтобы составить уравнение касательной,
используем уравнение прямой в виде
.
Получим:
-
уравнение касательной.
Нормалью к кривой называется прямая,
перпендикулярная касательной и проходящая
через точку касания. Угловой коэффициент
нормали
.
Уравнение нормали имеет вид
.
Пример 1.
Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в
точке с абсциссой
.
Решение: Из уравнения кривой определим
ординату точки касания
;
.
Из этого же уравнения найдем производную
и значение производной в точке
:
,
.
Составим уравнение касательной:
или
.
Составим уравнение нормали:
или
.
Физический смысл производной.
Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).
Скорость неравномерного движения есть
производная от пройденного пути по
времени
.
Вторая производная от пути по времени
есть величина ускорения прямолинейного
движения
.
Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.
Например,
-
количество вещества, вступающего в
химическую реакцию за время t,
-
скорость химической реакции в момент
времени t;
-
количество электричества, проходящего
через поперечное сечение проводника
за время t,
- сила тока в момент времени t.
В общем случае производная характеризует скорость изменения функции.
Пример 2. Две точки движутся по прямой
по законам:
,
.
В какой момент времени их скорости
равны?
Решение. Найдем скорости:
,
.
Составим уравнение
:
.
Решая его, находим t=2
сек.