14.2 Задания для самостоятельной работы

Найти производные сложных функций.

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

11. № 751 – 759, № 786, № 858, № 864 [1]

Найти производные логарифмическим дифференцированием.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Рекомендуемая литература: [2] стр. 81, [7] стр. 169, 181, [4] стр. 205-209.

ПРАКТИЧЕКСОЕ ЗАНЯТИЕ № 15

Тема: Нахождение производных неявных и параметрически заданных функций. Производные высших порядков.

15.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Производная неявной функции.

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно у, то говорят, что функция задана в явном виде (явная функция).

Функция, заданная в виде уравнения , не разрешенного относительно у, называется неявно заданной.

Например: , .

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у. Достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х ( ), и полученное затем уравнение разрешить относительно . Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример: . Найти .

Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Иногда зависимость функции у от аргумента х задается через посредство третьей переменной, так называемого параметра. А именно, зависимость между аргументом х и функцией у задается в виде двух уравнений: , где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Такой способ задания называется параметрическим.

Производная функции заданной параметрически находится по формуле .

Пример: . Найти .

Решение: ,

Производные высших порядков.

Производная функции так же является функцией и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или ).

Таким образом, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

, …

Производной n–го порядка (или n–й производной) называется производная от производной порядка (n-1): .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример 1. , найти производную третьего порядка.

;

;

.

Пример 2. Найти , если .

Дифференцируем уравнение по х: .Отсюда находим . Далее .

Пример 3. Найти вторую производную, если .

Функция задана параметрическими уравнениями. Вторую производную находим по формуле .

Решение: Находим первую производную .

Находим вторую производную .