13.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.
Правила дифференцирования:
1.
2.
;
с-const
3.
;
с-const
4.
,
если
,
т.е.
5.
,
если
и
- взаимно обратные функции.
Формулы дифференцирования.
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
Примеры:
Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
1)
Перейдем к дробным показателям степени (выражения, содержащие корни) и к отрицательным показателям степени, получим выражение
2)
.
Воспользуемся формулой производной
произведения
3)
Воспользуемся формулой производной
частного
13.2 Задания для самостоятельной работы
Найти производные
6.
7.
8.
9.
10.
11. № 745-750, № 771-777 [1]
12. № 778 -780, № 782,№ 783 [1]
Рекомендуемая литература: [2] стр. 68-96, [7] стр. 167-177, [4] стр. 186-201.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 14
Тема: Нахождение производных сложных функций. Логарифмическое дифференцирование.
14.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.
Пусть
и
,
тогда
сложная функция с промежуточным
аргументом
и
независимым аргументом
.
Производная сложной функции находится
по формуле
.
Чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции по независимой переменной.
Пример 1. Найти производную сложной
функции
.
Представим функцию в виде цепочки
простых функций
,
где
.
.
Пример 2. Найти производную сложной
функции
.
Представим функцию в виде цепочки
простых функций
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Здесь
.
.
Логарифмическое дифференцирование.
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример:
.
Найти производную.
Прологарифмируем данное выражение.
Дифференцируем по х:
Существуют функции, производные которых
находят лишь логарифмическим
дифференцированием. К их числу относятся
так называемые степенно-показательные
функции
,
где
и
дифференцируемые функции.
Пример: Найти производную функции
.
Логарифмируем данную функцию:
Дифференцируем, получаем:
