11.2 Задания для самостоятельной работы.

1. Найти пределы

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

2. № 763, № 766, № 767, № 768 [6]

3. № 668 – 670, № 687, 692, № 693, № 700 [1]

Рекомендуемая литература: [2] стр. 47-53, [7] стр. 145-149, [4] стр. 161-172.

_{ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 12}

_{Тема: Непрерывность функции. Задачи на классификацию точек разрыва.}

12.1 Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Это равенство означает выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке и в её окрестности;

2. функция имеет предел при ;

3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции , то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции,

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом: а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Т очка разрыва функции называется точкой разрыва второго рода, если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1.

Функция не определена в точке . Для функции - точка разрыва второго рода.

Пример 2.

Для функции , является точкой устранимого разрыва. Положив при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример 3.

Найти точки разрыва функции , если они существуют и построить график функции.

Данная функция задана несколькими аналитическими выражениями, каждое из которых представляет элементарную функцию. Поэтому, если данная функция имеет точки разрыва, то ими будут те точки, в которых она меняет аналитическое выражение, т.е х=0 и х=2. Исследуем эти точки. Найдем односторонние пределы в этих точках и значение функции.

х=0

О дносторонние пределы конечны, но не равны между собой. Поэтому точка х=0 - точка разрыва.

х=2

Все условия непрерывности в точке х=2 выполнены, функция в данной точке непрерывна.

Строим график данной функции (рис.6).

Рисунок 6

12.2 Задания для самостоятельной работы.

Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется найти точки разрыва функции, если они существуют, построить график функции.

1.		2.
3.		4.
5.		6.

7. № 723-726, № 727, № 728 [1]

Самостоятельная работа по темам «Пределы», «Точки разрыва». Время выполнения 1 час.

Примерные задания самостоятельной работы:

1. Найти пределы

а) б)

в) г)

2. Найти все точки разрыва и построить график.

Рекомендуемая литература: [2] стр. 54-60, [7] стр. 153-158, [4] стр. 175-184.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13

Тема: Производная элементарных функций. Правила нахождения производных.