9. Условия равновесия произвольной системы сил

Величина M₀, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центраО, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Используя введенные понятия можно показать [1], что любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в некотором центре приведения О, и одной парой с моментом M₀, равным главному моменту системы сил относительно данного центра (рис.16).

а) 1jrtf $ г

Рис.17

Тогда очевидно, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия

R= Z F =0, (18)

Mo =Z mo( F) =0.

10. Момент силы относительно оси

Проекция вектораm₀(F), т. е. момента силы F

относительно центра О, на какую-нибудь ось z, проходящую через этот центр, называется моментом силы Fотносительно оси z,т. е.

mz (F)= [m₀(F)]zили mz (F)= \ m₀(F) \cosy, (19)

Рис.18

где m_z(F) — момент силы Fотносительно оси z; у — угол между вектором m₀(F)и осью z.Из определения следует, что m_z(F),как проекция вектора на ось, является величиной алгебраической.

Из рисунка видно, что момент силы Fотносительно оси zравен алгеб­раическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси z, взятому относительно точки O1пересечения оси cэтой плоскостью.

15

3. опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис.18 это точка О) перпендикуляр на линию действия F^ и найти его длину h;

4. вычислить произведение F_xyh;

5. определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Разложим силу F, приложенную в точкеА с координатами х, у, z,на составляющие F_x, Fy, F_z, . Тогда, используя правила вычисления векторного произведения, получим следующие аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей

mx(F) = yFz—zFy,, (21)

my(F) = zFx—xF_z,, mz(F) = xFy—yFx.

С помощью (21) моменты можно вычислять, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств (26) являются одновременно проекциями вектора m₀(F)на координатные оси, то с помощью этих равенств можно найти модуль момента m₀(F)по формуле

^mo^(F)=^к ⁾²+К ⁾²+к ⁾².

11. Решение задач статики

В статике, как правило, решаются задачи одного из следующих двух типов: 1) задачи, в которых известны (полностью или частично) действующие на тело силы и требуется найти, в каком положении или при каких соотношениях между действующими силами тело будет находиться в равновесии; 2) задачи, в которых известно, что тело заведомо находится в равновесии и требуется найти, чему равны при этом все или некоторые из

16