части равенства (2), т. е. равенства ma= ^ Fк , на оси х, у, zи учитывая, что

2 2

a_x=dx/dtи т. д., получаем

_m—= у _Fm^-2y= у _Fm£± = y_{F (}1₁₎

dt^{2Л Fkx}, dt^{2 Л Ркг,}dt^{2 Л}. ⁽⁾

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

Так как действующие силы могут зависеть от времени t,от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z,и от скорости, т. е. от u_x=x, v_v=y, u_z=z,то в общем случае правая часть каждого из уравнений (11) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, x, у, z, u_x, u_yu_zодновременно.

Можно пойти и другим путем. Спроектируем обе части равенства ma= ^ Fк

на оси М_тъ,, т. е. на касательную М_Т к траектории точки, главную нормаль М_п, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль M_b.Тогда, учитывая, что a_T =du/ dt, a_n=u/p, а_ь=0, получим

^m—U⁼^^Fkt^{, m}p = Z^F_Kn^, °=S^FKb . ⁽¹²⁾

Уравнения (12), где u=ds/dt,представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

3. Прямолинейное движение точки. Решение основной задачи динамики.

Направим координатную осьОх вдоль траектории движущейся точки. Тогда ее движение будет определяться первым из уравнений (11), т. е. уравнением

_d²_x

^m~^= Е^FKX^{или m}= Е^FKX. ⁽¹³⁾

Уравнение (13) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные

du_x^ dx /1

m—- = У F_KX, — = u_X (14)

dt^ ^кdt^X-^V7

В случаях, когда при решении задачи необходимо найти зависимость скорости от координаты х, а не от времени t(или когда сами силы зависят от х), уравнение (14) преобразуют к переменному х. Так как dv_x/dt=dv_x/dx( dx/dt)= u_xdv_x/ dx , то вместо (14) получим

-х dt

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x=f(t).Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение. Уравнение (13) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное

49

уравнение 2-го порядка, а (14) и (15) - системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Следовательно, полученное общее решение будет содержать две постоянные интегрирования С₁ и С₂. Они, как правило, находятся из начальных условий

при t=0 х=х₀, v_x=v₀. (16)

В результате необходимое частное решение задачи, дающее закон движения точки, находится в виде

x= f (t, xo, Uo). (17)

Поясним все сказанное на примере следующей простейшей задачи.

Задача 5. Материальная точка с массой mдвижется под действием постоян­ной по модулю и направлению силы Q.Найти закон движения точки при начальных условиях (16).

Решение. Составляя дифференциальное уравнение движения в виде (13) и учитывая, что Q_х = Q, получим

-и_х _ m—— = Q. dt

Так как Q=const,то умножив обе части уравнения на dtи беря от них инте­гралы, найдем, что

v_x=(Q/m)t+C_h (a)

Замена в этом равенстве u_xна dx/dtдает

dx

• = (Q/ m)t + C,

Умножая обе части полученного уравнения на dtи снова интегрируя, найдем

x=(Q/2m) )t²+C₁t+C₂. (б)

Этот результат и представляет собой для данной задачи общее решение уравнения (13) в виде, соответствующем равенству (15).

Теперь определим постоянные интегрирования С₁ и С₂ по заданным началь­ным условиям (16). Решения (а) и (б) должны быть справедливы в любой момент времени, в том числе и в момент t=0.Поэтому, подставляя в (а) и (б) вместо tнуль, мы вместо u_xи х должны получить и₀ и х₀, т, е, должно быть

U0=Cbx0=C2.

Полученными равенствами определяются значения постоянных C₁и С₂, удовлетворяющие начальным условиям задачи. Подставляя эти значения в уравнение (б), найдем окончательно закон прямолинейного движения в виде

x=x₀+u₀t+(Q /2m)t². (в)

Как видно из уравнения (в), точка под действием постоянной силы совершает равнопеременное движение, что можно было предсказать заранее, так как если Q=const,то и a=Q/m= const.В частности, таким является движение точки под действием силы тяжести. При этом в уравнении (в) будет Q/m=g,а ось Oxдолжна быть направлена вертикально вниз.

Рассмотренная задача позволяет сформулировать следующий алгоритм решения основной задачи динамики.

50