Уравнение плоскости в пространстве
В
этом и в следующем разделах будем
считать, что в пространстве задана
прямоугольная декартова система
координат. Базисными векторами являются
векторы
и
.
Замечание о прямоугольной системе
координат, сделанное в разделе, посвященном
уравнению прямой на плоскости, остается
в силе: все перечисленные ниже факты,
безусловно справедливы только в том
случае, когда базис системы координат
является ортонормированным.
Различные виды уравнения плоскости
В прямоугольной декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
,
где
– постоянные, причем,
.
Последнее неравенство означает, что
хотя бы одно из чисел А , В или С отлично
от нуля.
Верно и обратное утверждение: каждое линейное уравнение , где , в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве определяет плоскость.
Поэтому уравнение
(2.1)
называется общим уравнением плоскости.
Фразу «плоскость P задается уравнением
»
следует понимать следующим образом:
точка
лежит на плоскости
P
тогда
и только тогда, когда при подстановке
ее координат в уравнение получаем верное
равенство, т.е.
.
Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.
Коэффициенты
,
и
уравнения
имеют простой геометрический смысл:
одним из нормальных векторов плоскости является вектор
;
(2.2)
векторы
(2.3)
параллельны плоскости.
Таким образом, коэффициенты уравнения , и определяют плоскость с точностью до параллельности.
В некоторых случаях удобнее пользоваться не общим уравнением плоскости, а уравнениями иного вида.
Уравнение
(2.4)
называется
уравнением плоскости в отрезках.
Коэффициент
равен абсциссе точки пересечения
плоскости с осью OX,
коэффициент
– ординате точки пересечения плоскости
с осью OY,
коэффициент
– аппликате точки пересечения плоскости
с осью OZ.
Уравнением
в отрезках можно задавать только те
плоскости, которые имеют ровно одну
точку пересечения с каждой из осей и не
проходят через начало координат.
Уравнение
(2.5)
называется
параметрическим уравнением плоскости.
Неколлинеарные векторы
параллельны плоскости и образуют на
ней базис, точка
лежит на плоскости, а параметры
независимо друг от друга изменяется
от
.
Подставляя различные значения параметров
в параметрическое уравнение плоскости,
можно получать координаты различных
точек плоскости. Параметрическим
уравнением
можно задать любую прямую на плоскости.
Уравнение
(2.6)
называется
параметрическим уравнением плоскости
в векторной форме. Неколлинеарные
векторы
параллельны плоскости и образуют на
ней базис,
–радиус-вектор
точки
,
лежащей на плоскости, а параметры
независимо друг от друга изменяется
от
.
Подставляя различные значения параметров
в параметрическое уравнение плоскости,
можно получать радиус-векторы различных
точек плоскости. Уравнением
такого вида можно задать любую прямую
на плоскости.
Отметим, что параметрическое уравнение плоскости является просто покоординатной записью параметрического уравнения плоскости в векторной форме.
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
,
(2.7)
где
,
,
–
направляющие косинусы нормального
вектора плоскости, а
–
расстояние от плоскости до начала
координат. Нормальное уравнение
получается из общего уравнения
умножением обеих частей уравнения на
(при
)
или на
(при
).
Нормальным уравнением
можно задать любую плоскость в
пространстве.
Очень часто на практике возникает следующая задача: требуется написать уравнение плоскости, удовлетворяющей некоторым условиям. Приведем формулы, которые позволяют решать некоторые задачи такого типа.
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:
.
(2.8)
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
,
параллельно неколлинеарным векторам
,
:
(2.9)
Уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
,
,
не лежащие на одной прямой:
(2.10)
Пример10 . Составить уравнение координатной плоскости ХОУ.
Решение. Получим решение несколькими способами.
1)
Выберем
в качестве нормального вектора плоскости
ХОУ базисный вектор
,
а в качестве точки, принадлежащей
плоскости ХОУ, — начало координат
Тогда уравнение искомой плоскости,
согласно (2.8),
имеет
вид
Раскрываем скобки
и получаем:
.
2)
Если
-
нормальный вектор искомой плоскости,
то из (2.2) и (2.3) следует, что
и
параллельны плоскости. Очевидно, что
они неколлинеарны, т.к.
.
В качестве точки, принадлежащей плоскости
ХОУ можно взять точку
.
Тогда уравнение искомой плоскости,
согласно (2.5),
имеет
вид
или, после упрощения:
Из (2.9) тоже можно получить уравнение плоскости:
Раскрываем определитель и получаем:
или
Заметим, уравнение в отрезках для этой плоскости написать невозможно, поскольку она проходит через начало координат.
Пример
11.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точка
параллельно векторам
и проверить, лежат ли точки
и
на этой плоскости.
Решение. Составим уравнение в отрезках (2.4). Сначала применяем формулу (2.9)
Раскрываем определитель и получаем:
или, после упрощения,
Это общее уравнение плоскости. Переносим свободный член вправо, делим обе части на 12, переносим все постоянные множители в знаменатели дробей и получаем уравнение в отрезках:
Осталось проверить, лежат ли данные точки на плоскости.
Подставляем координаты точки в уравнение плоскости:
Следовательно, лежит на плоскости.
Подставляем координаты точки в уравнение плоскости:
Следовательно, не лежит на плоскости.
Пример
12.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки
и
параллельно вектору
.
Решение.
Искомая плоскость проходит через точки
и
.
Следовательно, вектор
параллелен плоскости. Далее применяем
формулу (2.9)
Раскрываем определитель и получаем:
.