Взаимное расположение двух прямых
Пусть две прямые
и
заданы
уравнениями
и
,
соответственно.
Точка
лежит на пересечении прямых
и
тогда
и только тогда, когда при подстановке
ее координат в каждое из уравнений
получаем верное равенство, т.е.
и
.
Следовательно, координаты точки
являются решением системы уравнений:
.
(1.15)
Если система имеет 1 решение, то прямые пересекаются и решение системы уравнений – координаты точки пересечения.
Если система имеет бесконечно много решений, то прямые совпадают. Если система не имеет решений, то прямые параллельны.
Какой именно случай имеет место, можно определить и, не решая систему уравнений.
Если
,
(1.16)
то прямые пересекаются;
если
,
(1.17)
то прямые совпадают;
если
,
(1.18)
то прямые параллельны.
Угол
между прямыми
и
равен углу
между
их нормальными векторами
и
,
который находится из формулы
(1.19)
Угол
между прямыми
и
равен
и углу
между
их направляющими векторами
и
,
который находится из формулы
(1.20)
Так как две прямые
образуют два угла в сумме равных
,
то, если
,
найден косинус большего из них, а, в
противном случае, – меньшего.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда косинус угла между ними равен 0. Следовательно, условие перпендикулярности прямых и имеет вид:
.
Разбиение плоскости прямой
Пусть прямая задана уравнением .
Она
разбивает плоскость на две полуплоскости,
и
.
Возьмем произвольную точку прямой
и построим вектор
,
равный нормальному вектору прямой
.
Пусть точка
лежит в полуплоскости
.
Тогда точка :
лежит в полуплоскости в том и только в том случае, если
.
(1.21)
лежит в полуплоскости в том и только в том случае, если
.
(1.22)
Расстояние
от
точки
до прямой
равно длине перпендикуляра, опущенного
из точки
на
.
Отклонением
точки
от прямой
называется число
,
если точка
и начало координат лежат по разные
стороны от прямой, и число
,
если они лежат по одну сторону от прямой.
Если
лежит на прямой
,
то
Если
проходит через
начало
координат (в этом случае С=0), то
=
в том случае, когда
лежит
по ту сторону от
,
куда направлен нормальный вектор прямой
,
и
= –
в противном случае.
Для нахождения отклонения и расстояния следует составить нормальное уравнение прямой (см.(1.9)):
.
Отклонение вычисляется по формуле
.
(1.23)
Расстояние вычисляется по формуле
(1.24)
Пример
5
.
Найти угол между прямой
,
заданной уравнением
,
и прямой
,
проходящей через точки А(5;–4) и В(–2;6).
Решение. Из (1.14) находим уравнение прямой :
Вектор
–
направляющий вектор прямой
.
Из
(1.3) находим направляющий вектор
прямой
.
Из
(1.20) находим косинус угла между векторами
и
:
Следовательно,
и
,
образуют два угла
и
.
Пример
6
.
Найти точку пересечения прямой
,
заданной уравнением
,
и прямой
,
заданной уравнением
.
Решение. Решаем систему уравнений:
Прямые
пересекаются в точке
Пример
7
.
Найти расстояние между прямой
,
заданной уравнением
,
и прямой
,
заданной уравнением:
.
Решение.
Прямая
проходит через точку
параллельно вектору
.
Пользуясь (1.11), строим каноническое
уравнение
,
а, затем, из него получаем общее уравнение
:
Из (1.18) следует, что и параллельны, поскольку
Строим нормальное уравнения прямой (см. (1.9)):
.
Расстояние
между
и
равно расстоянию от какой-либо точки,
лежащей на одной из этих прямых, до
другой прямой. Точка
лежит на прямой
и расстояние от нее до прямой
из (1.24) равно
Пример
8
.
Дана точка
и прямая
,
заданная уравнением
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
:
а) параллельно прямой ;
б) перпендикулярно прямой ;
в) под
углом
к прямой
;
Решение.
Каждая из искомых прямых проходит через
точку
перпендикулярно неизвестному пока
вектору
.
Значит, согласно (1.10), каждая из них
задается уравнением
.
Значит, в каждом случае, надо найти
нормальный вектор
.
а) У
параллельных прямых нормальные векторы
коллинеарны. Следовательно, в качестве
нормального вектора искомой кривой
можно взять
–
нормальный вектор прямой
.
Искомое уравнение имеет вид:
б) В
качестве нормального вектора прямой,
перпендикулярной
,
можно взять направляющий вектор прямой
.
Согласно (1.3) он равен
.
Искомое
уравнение имеет вид:
в) Согласно (1.19) косинус угла между прямыми равен
Если
прямые пересекаются под углом
,
то другой угол (две пересекающиеся
прямые образуют два угла) равен
.
Следовательно,
получаем уравнение
Возводим обе части уравнения в квадрат, полагаем А=1 (или В=1) и находим значение В (или А):
Искомое уравнение имеет вид:
Это
вполне естественно, поскольку из любой
точки можно провести ровно две прямые,
образующие угол
с заданной прямой.
Пример 9 . Даны вершины треугольника A(2;3), B(6;6), C(5;7). Cоставить уравнение биссектрисы AЕ.
Решение. Пользуясь (1.13), находим уравнения прямых AB и АC:
Строим нормальные уравнения прямой AB:
и прямой АС:
.
Биссектриса угла А – это геометрическое место точек, равноудаленных от прямых АВ и АС. Но таких прямых две (вторая – биссектриса дополнительного угла). Нас интересует та из биссектрис, которая пересекает отрезок ВС. Точка пересечения Е биссектрисы с отрезком ВС лежит по ту же сторону от каждой из прямых АВ и АС, что и точка D –середина отрезка ВС. Значит, отклонения Е от АВ и АС имеют те же знаки, что и отклонения D от АВ и АС.
Находим точку – середину стороны BC:
Отклонения точки от АВ и АС (см. (1.23) ) равны
.
Следовательно,
отклонения точек
искомой биссектрисы от АВ
и АС отличаются знаком, совпадая по
абсолютной величине. Из этого и получаем
уравнение АЕ:
