2.3 Принцип неопределенности. Границы применимости классической механики

Одновременное существование столь различных (корпускулярных и волновых) свойств у частиц не может быть объяснено в рамках классической механики. Это приводит к предположению, что некоторые понятия классической механики, выработанные на основе опытов с макротелами, не применимы к элементарным частицам. Например, в классической механике для движущегося тела или материальной точки всегда можно одновременно точно определить и скорость и координату; можно вычислить также и траекторию его движения. Для микрочастиц же, ввиду их волновых свойств, одновременные значения координат и скорости (или количества движения) не существуют: если количество движения (или скорость) частицы имеет определенное значение, то местоположение ее (т.е. координаты) не имеет определенного значения, и наоборот.

Это положение впервые было сформулировано В. Гейзенбергом в 1927г. в виде так называемого принципа неопределенности: произведение неопределенности Δp_x в количестве движения на неопределенность в координате Δx не может быть меньше постоянной Планка ħ (ħ = h/2π = 1,05•10^-34 Дж•с): Δp_x•Δx ≥ ħ

Разделив это выражение на массу частицы, получим другое выражение принципа неопределенности: Δυх•Δx ≥ ħ/m, согласно которому, чем точнее определена скорость частицы вдоль оси х (т.е. чем меньше Δυ_х), тем больше неопределенность ее координаты, т.е. тем больше Δx.

Принцип неопределенности является существенной частью квантовой теории.

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием х, υ, р, Е и т.д. Эти величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны эти переменные. Но информацию о частицах мы получаем из их взаимодействия с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим, измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам (говорят, что у электрона есть р, υ и др.).

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерении определенные значения. До прохождения микрочастицы, например электрона, через щель, Δр_х=0, но х совершенно не определена. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности х появляется неопределенность Δх, но это достигается ценой утраты определенности значения р_х.

Вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угда 2φ, φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (остальными максимумами пренебрегает, по сравнению с нулевым). Т.о. появляется неопределенность Δр_х=p·sinφ.

Первому дифракционному минимуму ( краю центрального или нулевого максимума), получающемуся от щели шириной Δх, соответствует угол φ для которого sinφ = λ/Δх. Следовательно Δр_х~р·λ/Δх, а так как λ=h/р, то ΔхΔр~р·λ≈ h.

Соотношение неопределенностей является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности позволяет объяснить почему а)электрон не падает на ядро, а также б)оценить размеры атома, и в) минимально возможную энергию электрона в атоме.

1) Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс р приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности: Δр·Δr≥ħ.

2) Формально энергия была бы минимальна при r=0 и р=0. Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить Δr≈r-0≈r; Δр≈р-0≈р. Отсюда r·р= ħ. Энергия электрона в атоме водорода

Е=р²/2m-е²/r; Е= ħ²/ r²2m- е²/r.

Найдем r, при котором Е минимальна. Продифференцируем по r и приравняем нулю производную: -ħ²/mr³+ е²/r²=0 → r= ħ²/mе². Это совпадает с выражением для радиуса первой Боровской орбиты атома водорода. Подставив это выражение для r в формулу для минимальной Е, получим:

Е_min= ħ²/2m(mе²/ħ²)²-е²(mе²/ħ²)= -mе⁴/2ħ², что также совпадает с теорией атома Бора.

Волновые свойства частиц характеризуются длиной де-бройлевской волны λ = h/p; в тех случаях когда размеры области движения частицы или размеры ее амплитуды колебания велики по сравнению с ее де-бройлевской волной (как, например, при движении частиц в вакуумных трубках), можно применять законы и понятия классической механики и они, как показывает принцип неопределенности, дадут достаточно точные результаты. Но если линейные размеры, характеризующие явления, сравнимы с длиной де-бройлевской волны частицы (например, при движении электронов в атоме), то законы и понятия классической механики теряют силу.

Квантовая теория приводит также к соотношению неопределенностей для энергии Е и времени t: ΔЕΔt ≥ ħ; (Δр=F·Δt Δр·Δx=F·Δx·Δt=ΔЕΔt). Здесь Δt представляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией Е ± ΔЕ. Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (Δt = ∞), поэтому энергия этого состояния вполне определенна: ΔЕ = 0. Но в более высоком энергетическом состоянии атом пребывает весьма недолго, допустим Δt секунд; тогда его энергия в этом более высоком состоянии может быть определена с точностью до ΔЕ = ħ/Δt и будет равна Е ± ΔЕ. При переходе атома на более высокого уровня на низкий уровень с энергией Е' он излучает фотон с энергией: hν=(Е ± ΔЕ)- Е'=(Е- Е') ± ΔЕ

Таким образом, энергия излученного фотона может быть известна лишь с точностью до ΔЕ; которая определяется временем Δt жизни атома в возбужденном состоянии.

Из этого следует, что частота излученного фотона имеет неопределенность, равную Δν= ΔЕ/h, т.е. линии спектра будут иметь частоту, равную ν ± ΔЕ/h. Это и наблюдается на опыте: все спектральные линии размыты, имеют конечную ширину; величина этой ширины позволяет определить порядок времени существования атома в том или ином возбужденном состоянии.