2.5 Атом водорода по квантово - механической теории

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из одного электрона и одного протона, между которыми действует электрическое притяжение. Ввиду большого различия в массах протона и электрона первый можно считать неподвижным. Потенциальная энергия электрона в поле ядра в соответствии с законом Кулона равна: U=-е²/4πε₀r,

где r — расстояние электрона от протона.

Графически эта функция представляет собой подобие потенциальной ямы с гиперболическими краями и без дна.

Уравнение Шредингера для этого случая будет иметь вид: ΔΨ+8π²m/h²•(Е+е²/4πε₀r)•Ψ=0

Его решение представляет сложную задачу, поэтому ограничимся описанием результатов.

1. Точное решение уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Каждому энергетическому уровню соответствует целое главное квантовое число n = 1,2, 3, ….Это совпадает с результатами теории Бора, но там этот результат был получен путем внесения постулатов; в квантово-механической же теории дискретные уровни энергии в атоме являются следствием самой теории и появляются автоматически при решении основного уравнения теории.

2. Каждому из дискретных энергетических состояний, кроме основного, соответствует несколько значений Ψ-функций. Только основное состояние с n=1 характеризуется одним значением Ψ-функции. Состоянию же с квантовым числом n >1 соответствует n² значений Ψ-функции.

Состояния электронов в атоме могут отличаться не только значением энергии, которое определяется квантовым числом n, но еще и величиной и направлением момента количества движения электрона. Величина момента количества движения а атоме водорода квантована; для каждого значения энергии Е_n она может иметь ряд дискретных значений L= ,

где l — целые числа от 0 до (n — 1): 0, 1,2..... (n — 1).

Проекция момента количества движения на любое направление также квантуется. Для каждого значения l вектор L ориентируется только таким образом, чтобы его проекция L_x принимала значения: L_х=m_l•(h/2π)

где m_l пробегает ряд целых чисел от + l до —l, включая 0, т.е. m_l = 0, ± 1, ±2, ..., ± l.

Итак, уравнение Шредингера приводит к тому, что каждое квантовое состояние электрона в атоме водорода характеризуется набором целых чисел n, l и m_l, которым соответствуют определенная энергия электрона, определенный момент количества движения его и определенная проекция этого момента на выделенное направление. Этот результат имелся в теории Бора. Числа n, l и m_l, назывались там соответственно главным, побочным и магнитным квантовыми числами (эти названия сохраняются и в квантовой теории).

Математически дискретность определенных состояний можно показать, если разделить переменные в уравнении, и Ψ может быть представлена в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты: Ψ (r,δ,φ) = R(r)θ(δ)Ф(φ).

Функция R(r) дает возможность определить радиальное квантовое число nr, функция θ(δ) —орбитальное квантовое число l и функция Ф(φ) — магнитное квантовое число m_l. Можно показать, что n=n_r+l+1= n_r + n_φ

кривые радиального распределения величины электрического заряда в 1s-, 2s- и 3 s -состояниях электрона в атоме водорода.

где n_φ = l+1; n — главное квантовое число по боровской теории атома. Таким образом, уравнение Шредингера, примененное к водородо-подобному атому, содержит в себе все три условия квантования, которые в теории Бора постулировались.

Квантовая теория, в отличие от теории Бора, отрицает существование определенных электронных орбит в атоме. Решая уравнение Шредингера, мы получим лишь суждение о вероятности нахождения электрона в том или

ином месте. Функция |Ψ|ΔV дает вероятность нахождения частицы внутри малого объема ΔV, а произведение заряда электрона е на |Ψ|², представляет собой среднюю плотность заряда в этом элементарном объеме. Большое значение |Ψ|² указывает на значительную вероятность нахождения электрона в данном месте. При этом получается, что заряд электрона размазан с различной плотностью по всему атому, образуя электронное облако.

Например, е•|Ψ|² имеет неодинаковое значение во всем пространстве вокруг ядра: на расстояниях, превышающих 2Ǻ от ядра, вероятность пребывания электрона практически равна нулю. Этим как бы определяются размеры атома. Но и внутри сферы с r=2Ǻ вероятность пребывания электрона не одинакова: по мере удаления от ядра, она растет и, достигнув максимума на расстоянии r = 0,529 Ǻ, начинает падать, обращаясь практически в нуль при r=2 Ǻ. Следовательно, наиболее вероятно пребывание электрона на расстоянии 0,529 Ǻ (рис.), что равно радиусу первой боровской орбиты.

В случае более высоких энергетических состояний: 2s, 3s и т. д. функция е•|Ψ|² ΔV также имеет сферическую симметрию. Однако для 2s -состояния имеется два максимума, для 3s-cocтояния — три и т.д., причем эти максимумы не одинаковы, и определяются примерно радиусами соответствующих боровских орбит.

формы распределения плотности электронного облака для 2р-состояния с l=1

В рассмотренных 1s-, 2s-- и т. д. состояниях квантовые числа l и m_l, равны нулю. Это значит, что момент количества движения электрона в этих состояниях равен нулю, что, конечно, недопустимо. Однако квантовая теория отказывается от наглядного представления об орбитальном движении электронов. Электрон непрерывно движется в атоме, в том числе и s -состояниях, но его перемещение равновероятно для всех направлений, поэтому и момент количества движения в среднем равен нулю.

В других состояниях, например в р- или d-состояниях, как показывает решение уравнения Шредингера, распределение плотности электронного облака уже не является сферически симметричным. В случае 2р-состояния непрерывное движение электрона в атоме уже не дает одинаково вероятного перемещения для любого направления, поэтому и момент количества движения не оказывается равным нулю.