1.2 Теория атома водорода; сериальные формулы

Атом водорода состоит из одного протона и одного электрона, имеющих одинаковые, но противоположные по знаку заряды. Масса электрона составляет всего лишь 1/1836 массы протона, поэтому можно считать, что электрон вращается вокруг почти неподвижного протона. Для упрощения будем считать, что электронные орбиты - окружности, в центре которых расположен протон.

Сила притяжения между электроном и протоном определяется из закона Кулона. Она является центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите. Следовательно (в системе СГС),

→mυ²r_n=e² В системе СИ .

Умножив обе части на mr_n, получим: m²υ²r_n²=e² m r_n

Согласно постулату Бора радиусы орбит должны удовлетворять условию, mυr_n = nh/2π

Решая эти уравнения совместно, получим для радиуса n-й орбиты

m²υ²r_n² = (mυ²r_n) r_n m=n²h²/4π², где n = 1,2,3, ... —любое целое число.

rn= n2h2/4π2mе2 (3.4)

Подставляя числовые значения, найдем, что радиус первой возможной орбиты (n = 1) равен r₁ = 0,53·10^-8 см.

Энергия атома состоит из потенциальной энергии взаимодействия между ядром и электроном и кинетической энергии движения электрона по орбите со скоростью υ.

Величину потенциальной энергии можно рассчитать, учитывая, что работа электрической силы притяжения при удалении электрона с расстояния r_n до ∞ равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком. Следовательно,

;

Кинетическая энергия электрона равна m₂υ₂/2= ½ е²/ r_n

Полная энергия атома водорода Е= m²υ²/2+U равна:

Е_n=- ½ е²/ r_n

Учитывая значение r_n, запишем: Еn=- 1/n²•2π²mе⁴/h²

Подставляя числовые значения, получим величины уровней энергии для водородного атома:

первый уровень (n = 1) E₁ = — 13,55 эВ,

второй уровень (n = 2) Е₂ = — 13,55/4 = - 3,37 эВ,

третий уровень (n = 3) Е₃ = — 13,55/9 = -1,50 эВ

и т. д.

Так как полная энергия атома отрицательна, то чем меньше ее

абсолютное значение, тем больше значение полной энергии, т.е. с увеличением радиуса орбиты, на которой находится электрон, энергия атома увеличивается. При n = ∞ Е = 0; это и будет максимальное значение энергии системы, состоящей из протона и электрона.

Эту формулу можно обобщить для водородоподобных атомов (заряд ядра которых равен Ze), обладающих одним внешним электроном: ноны гелия Не⁺ (Z = 2), ионы лития Li⁺⁺ (Z = 3) и др.

В этом случае получим: Е_n=- 1/n²•2π²mZ²е⁴/h²

Пользуясь теорией Бора, можно объяснить происхождение линейчатых спектров; для простейшего атома водорода эта теория позволила установить соотношения между частотами (или длинами волн) отдельных линий в спектре. Одно из таких соотношений было установлено Бальмером: частоты колебаний в видимой части спектра водорода подчиняются формуле, имеющей вид: ν = R(1/2³-1/n²),

где ν — частоты колебаний спектральных линий; R — постоянная Ридберга, равная 3,290•10¹⁵ с^-1; n=3,4,5, ... и т.д. Спектральные линии, удовлетворяющие этой формуле, составляют так называемую «серию Бальмера».

Давая n значения 3, 4, 5, ... и т. д. до ∞, получим все линии излучения видимой части спектра водорода. При n = 3 линия называется Н_α при n = 4 — Н_β и т.д.

Происхождение серии Бальмера легко объясняется при помощи теории Бора. Действительно, излучение света атомом происходит в согласии с условием частот hν = Е₁ — Е₂, где Е₁ и Е₂ — дискретные значения уровней энергии атома. Для двух уровней энергии с номерами n = n₁, n = n₂, можно получить формулу для расчета частот испускаемого излучения:

ν = 2π²mе⁴/h³(1/n₁² - 1/n₂²), где 2π²mе⁴/h³= R.