Введение

Ежедневно в призводственной деятельности и в бы­ту возникают такие ситуации, в которых появляется по­требность в массовом обслуживании. Очень часто об­служивающие организации располагают ограниченны­ми возможностями удовлетворения спроса на обслужи­вание. Это, как правило, приводит к созданию очере­дей. Примеры подобных явлении встречаются на каж­дом шагу: очереди в магазинах, в билетных кассах, на остановках маршрутных такси, задержка ремон­та бытовых приборов в ателье по обслуживанию населе­ния, скопление самолетов над аэродромами из-за отсут­ствия свободных посадочных полос, задержка в ремонте вышедших из строя станков, военной техники в боевых условиях и т. д. Хотя приведенные примеры взяты из различных областей человеческой деятельности, всем им присущи одинаковые формальные признаки, которые позволяют их описать с помощью одного и того же ма­тематического аппарата. Во всех этих ситуациях перед теорией стоит задача достаточно полно описать суть происходящих явлении и установить с необходимой для практики точностью количественную связь между чи­слом приборов обслуживания, характеристиками входя­щего потока требований (заявок) и качеством обслу­живания. При этом под качеством обслуживания по­нимается, насколько своевременно проведено обслужи­вание поступивших в систему требований. Естественно, что качество обслуживания надо как-то количественно оценить. В настоящее время для такой оценки разрабо­тано много критериев, полезность каждого из них опре­деляется поставленной задачей исследования. Вопросу выбора критериев для решения различных задач в этой главе отведено значительное место. Как правило, зада­ча исследования систем массового обслуживания сво­дится к необходимости определения оптимального пото­ка для обеспечения необходимого качества обслужива­ния.

Под системой массового обслуживания (СМО) понимается организованная совокупность объектов, предназначенных для выполнения однородных операций, потребности в которых возникает в случайный момент времени и продолжительность обслуживания которых является случайной.

Каждый из объектов, образующих систему массового обслуживаний, называется каналом обслуживания (кассиры в супермаркете), а каждую операцию, которую выполняет канал обсл. называется обслуживанием.

Когда возникает потребность в выполнении операции по обслуживанию, говорят, что в систему поступило требование на обслуживание (покупатель). Распределение во времени моментов поступления в систему требования на обслуживание называется входящим потоком требованием.

Распределение моментов времени выходящих из системы называют выходящим потоком требований.

Кол-во требований, находящихся в системе в ожидании обслуживания называется длинной очереди.

Организация системы массового обслуживания определяется:

- кол-вом каналов обслуживания;

- порядком взаимодействия каналов обслуживания;-

-дисциплиной очереди (определяет порядок образования и состав очереди).

Главной особенностью всех задач, связанных с мас­совым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслу­живание и временные интервалы между их поступления­ми, длительность обслуживания требований случайны. Время пребывания требований в некоторых видах Си­стем массового обслуживания также случайно. При этом случайные колебания величин не носят характера не­больших возмущений. Наоборот, это основная черта рассматриваемых явлений, что накладывает отпечаток на свойства получаемых зависимостей, с помощью кото­рых производится оценка качества функционирования систем.

Теория массового обслуживания - прикладная от­расль математики. Нужно сказать, что первые задачи теории массового обслуживания были достаточно про­сты и допускали получение окончательных аналитиче­ских зависимостей. Однако с каждым годом круг этих задач расширяется. Это развитие идет как по линии увеличения сферы приложения теории массового обслу­живания, так и по линии усложнения стоящих перед ней задач. Расширяется и круг ученых, работающих над ее развитием. Большой вклад сделали советские ученые А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко, Н. П. Буслснко, Ю В. Прохоров и многие другие.

В настоящее время в теории массового обслужива­ния рассмотрено много математических схем, что услож­нило их классификацию. Теперь уже назрела необходи­мость в построении общей математической теории, ко­торая бы позволила анализировать работу различных систем универсальными методами. Один из возможных вариантов решения этой задачи предложен Н. П. Бусленко в [б], где он рассматривает агрегатные системы весьма общей структуры. Для их решения предлагает­ся универсальный метод - метод статистических испы­таний (Монте-Карло). В этом направлении интересно также предложение И. Н. Коваленко [12] по использо­ванию в рамках обобщенных схем некоторого класса задач теории марковских процессов для исследования их структуры, установления связи эффективности си­стемы с эффективностью отдельных агрегатов и т. д.

Все, о чем мы говорили, связано с решением зада­чи: при известных параметрах потока требований в си­стему дать анализ ее функционирования. Но не менее важным представляется решение обратной задачи — по характеристикам выходящего потока и системы дать ме­тод определения параметров входящего потока, кото­рый будет своевременно обслужен. Работы в этом на­правлении только начинаются.

1. Основные элементы системы массового обслуживания

Система массового обслуживания характеризуется структурой, которая определяется составом и функцио­нальными связями. Она состоит из следующих элемен­тов: входящего потока требований, приборов (каналов) обслуживания, очереди требований, ожидающих обслуживания, и выходящего потока требований.

Выходящий поток

о о о о о о

Приборы

Входяьций Очередь

поток

о о о о о

Рисунок 1.1 - Общая схема систем массового обслуживания

Общая схе­ма системы массового обслуживания, состоящей из одной группы приборов, показана на рис. 1.1. Эта схема может быть усложнена, если система состоит из ряда последовательных приборов или из ряда последо­вательно и параллельно связанных приборов или имеет еще более сложную сетевую структуру. Возможны си­стемы, в которых отсутствует такой элемент, как оче­редь (системы с отказами).

Входящий поток представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Само требование можно рассматривать как запрос на удовлетворение какой-то потребности. Часто требование отождествляется с его носителем.

Примеров входящих потоков можно привести много. Это поток информации, поступающей на обработку в ЭВМ, поток клиентов, приходящих в парикма­херскую, больных, поступающих в больницу, поликли­нику, приходящие в порт суда, налетающие на объект удара самолеты противника и.т. д.

В приведенных примерах в качестве требований вы­ступают соответственно клиенты, больные, суда, бомбар­дировщики. Состав системы определяется еще и количеством каналов (приборов, линий и т. д).

Несколько слов о качестве обслуживания. Под качством работы систем массового обслуживания понима­ется не то, как хорошо выполнено само обслуживание (качество ремонта, погрузка судов и т. д.) -это оцени вается другими критериями, - а как хорошо организо­вано обслуживание, насколько полно загружены обслу­живающие приборы, не создается ли большая очередь или не велик ли уход из системы необслуженных тре бований.

При решении практических задач, связанных с си­стемами массового обслуживания, очень важно оценить их полнодоступность, т. е. возможность каждого требо­вания поступить на обслуживание любого прибора си­стемы. Если это условие не выдерживается, то система называется неполнодоступной. Примером может служить система противовоздушной обороны объекта, перед ко­торой стоит задача отражения налета самолетов против­ника в широкой полосе. Если полоса налета достаточно широка и полностью не перекрывается зонами действи­тельного огня всех огневых средств обороны, то, видимо, они не могут обстрелять любой самолет в налете, а «обслуживают» только те, которые пролетают через зоны их действительного огня.

Выходящий поток - это поток требований, покидаю­щих систему. Требования потока могут быть обслуже­ны приборами системы и не обслужены.

Исследование структуры выходящего потока имеет большое значение, так как он может быть входящим потоком для другой группы приборов. Распределение требований в выходящем потоке во времени зависит от плотности входящего потока и характеристик работы приборов обслуживания системы. Например, плотность потока отремонтированных радиоприемников из ателье зависит от производительности мастеров по ремонту и загрузки ателье неисправной аппаратурой, поступающей от населения.

Основной задачей массового обслуживания является определение количественных показателей функциониро­вания систем массового обслуживания и их зависимо­сти от параметров входящего потока и структуры собст­венно системы (ее состава и функциональных связей). Решение этой задачи дает возможность найти в систе­ме слабые звенья, определить их влияние на эффектив­ность обслуживания и найти пути их улучшения или при заданных характеристиках потока требований и крите­рии качества обслуживания дать предложения о струк­туре системы, которая обеспечит выполнение постав­ленной перед ней задачи. Для решения этого могут быть привлечены различные методы оптимизации: ли­нейное или нелинейное программирование, динамическое программирование, теория игр и др.