Косокутного проеціювання Запитання для самоперевірки

1. Яке положення в системі займе площина П₄, яка вводиться для утворення системи ?

2. Як знайти довжину відрізка прямої лінії і кути цієї прямої з площинами П₁ і П₂, вводячи додаткові площини проекцій?

3. Скільки додаткових площин проекцій треба ввести в систему , щоб визначити натуральну величину фігури, площина якої перпендикулярна до площини П₁ або до площини П₂?

4. Знайдіть способом плоско-паралельного переміщення натуральні величини відрізка прямої і трикутника, що лежать у фронтально-проецюючій площині.

5. Які основні елементи способу обертання?

6. У чому суть способу обертання навколо осей, перпендикулярних до площин проекцій?

7. Визначте способом обертання навколо проецюючих осей натуральні величини відрізка прямої і трикутника.

8. Як розміститься площина обертання точки, якщо її вісь обертання лише паралельна до площини П₁ або до площини П₂ але не перпендикулярна ні до П₁ ні до П₂? Чому при цьому доводиться визначати натуральну величину радіуса обертання?

9. Знайдіть способом суміщення натуральну величину трикутника, що лежить у горизонтально-проецюючій площині.

10. Що є ознакою досягнення горизонтального положення площини, заданої горизонталлю і точкою, при повороті навколо цієї горизонталі і де розміститься фронтальна проекція точки після повороту?

ЛЕКЦІЯ 6.

МНОГОГРАННИКИ.

КРИВІ ЛІНІЇ.

ПОВЕРХНІ.

План.

1. Побудова проекцій многогранників.

2. Переріз многогранника площиною.

3. Перетин многогранника з прямою.

4. Способи утворення кривих ліній.

5. Класифікація кривих ліній.

6. Способи утворення поверхонь.

7. Лінійчаті поверхні.

8. Поверхні обертання.

9. Гвинтові поверхні.

1. Многогранником називається тіло, яке обмежене плоскими многокутниками. Елементами многогранника є: площини (грані), ребра (лінії перетину двох граней), вершини (спільні точки декількох граней).

С

Рис.6.1.

укупність всіх ребер многогранника називають його сіткою. Із всієї кількості многогранників для нас найбільший практичний інтерес являють піраміди, призми і правильні опуклі многогранники.

У правильних опуклих многогранників усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути дорівнюють один одному.

Різновидності правильних многогранників:

1. Тетраедр (чотиригранник) – грані рівні трикутники;

2. Октаедр (восьмигранник) – грані рівні трикутники;

3. Ікосаедр (двадцятигранник) – грані рівні трикутники;

4. Гексаедр (шестигранник) – грані квадрати;

5. Додекаедр (дванадцятигранник) – грані правильні п’ятикутники.

Навколо всіх правильних многоранників можна описати сферу.

Пірамідою (рис.6.2-б) називається многогранник у якого всі бічні ребра перетинаються в одній точці.

Призмою (рис.6.2.-а) називається многогранник у якого всі бічні ребра паралельні між собою. Основами призми є рівні многокутники. Якщо основи призми перпендикулярні бічним ребрам, то призма називається прямою. Якщо цієї умови немає – призма похила. Побудова проекцій многогранника зводиться до побудови його сітки.

а) б)

Рис.6.2. Побудова проекцій многогранників

Комплексне креслення призм, пірамід і інших многогранників краще виконувати з тих площин проекцій, на які їх основи проецюються в натуральну величину.

При розв’язанні різних задач часто необхідно визначити на поверхні многогранника точку чи відрізок прямої. Ця задача полегшується, якщо точка чи відрізок знаходяться у проецюючих гранях. Наприклад: бічні грані прямої призми (рис. 6.2-а). У випадку загального положення граней виконують такі ж самі побудови, як при визначенні точки чи відрізка прямої, що належить площині загального положення.

Так, якщо задані фронтальні проекції K₂, M₂ точок, що лежать на поверхні призми (рис. 6.2-а), то горизонтальні проекції цих точок визначаються просто. Бічні грані призми є горизонтально-проецюючими, тому горизонтальні проекції всіх точок, що лежать у цих гранях збігаються зі слідами-проекціями відповідних граней.

Якщо точки E і F лежать на бічних гранях піраміди (рис. 6.2-б), то для визначення відсутніх проекцій точок, необхідно в гранях через ці точки провести довільні прямі, визначити положення проекцій цих прямих на проекціях граней многогранника, а потім визначити положення проекцій точок E і F на проекціях відповідних прямих, яким вони належать.

2. При перерізі многогранника площиною утворюється плоска фігура, що називається перерізом. Перерізом многогранника є многокутник вершинами якого служать точки перетину ребер многогранника з січною площиною, а сторонами є лінії перетину цієї площини з гранями многогранника.

Розрізняють два способи побудови плоского перерізу многогранника:

1. знаходження вершин многокутника перерізу (спосіб ребер);

2. знаходження сторін многокутника перерізу (спосіб граней).

У першому випадку побудова зводиться до багатократного розв'язання задачі на знаходження точки перетину прямої з площиною (перша позиційна задача), у другому випадку – на знаходження лінії перетину двох площин (друга позиційна задача). Можлива комбінація в використанні цих двох способів.

П

Рис.6.3. Переріз многогранника проецюючою площиною

риклад 1. Переріз многогранника проецюючою площиною  (рис. 6.3).

Розв'язання задачі на визначення перерізу многогранника площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проецююче положення. У цьому випадку одна з проекцій перерізу – відрізок прямої – належить сліду-проекції січної площини.

Визначення другої проекції лінії перерізу зводиться до розв'язання раніше розглянутої задачі на побудову відсутньої проекції точки, що належить многограннику, якщо відома хоча б одна її проекція.

П

Рис.6.4. Переріз многогранника площиною

риклад 2. Переріз многогранника площиною загального положення (a ∩ b) (рис. 6.4).

На відміну від попередньої задачі переріз призми площи-ною  на площини проекцій П₁ і П₂ не проецюється у вигляді прямої лінії.

Але, оскільки бічна поверхня призми є горизонтально-проецюю-ча (три бічні грані є площинами, перпендику-лярними до П₁), то горизонтальна проекція перерізу призми площи-ною  збігається з горизонтальною проекці-єю призми. Внаслідок цього горизонтальні проекції вершин перерізу збігаються з горизонтальними проекціями ребер призми, а горизонтальні проекції сторін перерізу – з горизонтальними проекціями граней призми.

Задачу розв'язуємо способом граней, двічі розв'язуючи задачу про перетин двох площин, одна з яких є горизонтально-проецюючою.

Приклад 3. Побудувати проекції перерізу трикутної призми площиною (m  n) - загального положення (рис. 6.5).

Розв'язання задачі ускладнюється тим, що на П₁ і П₂ переріз не проецюється у вигляді відрізка прямої, а бічна поверхня призми не є проецюючою – бічні грані займають загальне положення.

В заданому випадку необхідно використати спосіб ребер: послідовно побудувати точки перетину бічних ребер з площиною загального положення. Для цього через бічні ребра проводимо допоміжні площини (в даному випадку – горизонтально-проецюючі , , ) – тричі розв'язуємо задачу про перетин прямої з площиною.

Рис.6.5. Переріз трикутної призми площиною

3

Рис.6.6. Побудова точки перетину прямої зповерхнею піраміди

. Поверхня опуклого многогранника має з прямою дві спільні точки - це точки перетину прямої з гранями многогранника. Якщо одну з таких точок назвати точкою входу прямої, то друга з них буде точкою виходу. При побудові точок перетину прямої з гранями застосовуються способи: допоміжної січної (краще проецюючої) площини та перетворення проекцій. У першому випадку через пряму проводиться допоміжна проецююча площина і визначається переріз многогранника цією площиною. Одержаний переріз та пряма лежать в одній площині і перетинаються в двох точках, які є шуканими точками перетину прямої з многогранником.

Приклад 1. Визначити точки перетину прямої l з поверхнею піраміди.

1. Через пряму l проводимо фронт.-проецюючу площину  – l₂  ₂.

2. Будуємо проекції перерізу піраміди площиною: 1₂ ,2₂ ,3₂ 1₁ ,2₁ ,3₁.

3. Визначаємо точки перетину прямої l з побудованим перерізом – точки M і N (M₁,N₁  M₂, N₂).

4. Визначаємо видимість прямої на П₁ і П₂.

Якщо проекція прямої не перетинається з проекцією перерізу, то пряма не перетинається з поверхнею.

П

Рис.6.7. Побудова точки перетину прямої з поверхнею похилої призми

риклад 2. Визначити точки перетину прямої  з поверхнею похилої призми (рис.6.7).

1. Через пряму l проводимо площину  загального положення  (m  l). Для цього на прямій l беремо довільну точку К. Через цю точку проводимо пряму m, яка паралельна бічним ребрам призми (рис. 6.7).

2. Будуємо горизон-тальний слід площини загального положення .

m  П₁ = 1.

l  П₁ = 2.

1-2 – горизонтальний слід площини .

3. З точок перетину горизонтального сліду площини  з основою призми (точки 3₁ і 4₁) проводимо лінії, паралельні бічним ребрам призми.

Таким чином визначається горизонтальна проекція перерізу призми площиною .

Ця проекція перерізу перетинається з проекцією прямої l₁ в точках M₁ і N₁, які є горизонтальними проекціями точок перетину прямої l з поверхнею похилої призми.

Якщо проекція сліду площини не перетинається з проекцією основи поверхні, то пряма не перетинається з поверхнею.

4. Обрисами багатьох інженерних конструкцій і споруд, деталей машин і механізмів є криві лінії. Кривими лініями складаються каркаси і сітки поверхонь.

Будь-яка крива лінія може бути отримана:

1. рухом точки у просторі (рис. 6.8-а);

2. перетином кривих поверхонь площиною (рис. 6.8-б);

3. взаємним перетином двох поверхонь, з яких хоча б одна крива (рис. 6.8-в).

а) б) в)

Рис.6.8. Способи утворення кривих ліній

5. Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині.

Ознакою плоскої кривої на епюрі є належність проекцій всіх точок кривої однойменним проекціях прямих, які належать площині (рис. 6.9).

Рис.6.9. Плоскі криві лінії

Тобто, за двома ортогональними проекціями кривої неможливо одразу відповісти на запитання, плоскій чи просторовій кривій відповідають задані проекції. Необхідно з'ясувати, чи належать усі точки кривої одній площині. Якщо належать, крива – плоска, якщо не належать – просторова.

Просторовими називаються криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис 6.10-а).

а) б)

Рис.6.10. Просторові криві лінії

Щоб визначити, плоска чи просторова крива лінія m(m₁, m₂) задана на епюрі (рис. 6.10-б), необхідно:

1) позначити на кривій m три довільні точки А, В, С, які визначають собою площину;

2) взяти на кривій m четверту довільну точку D і перевірити, чи належить вона цій площині.

Виявилось, що точка D площині АВС не належить.

Крива лінія m(m₁, m₂) просторова.

Алгебраїчний порядок кривої визначає степінь її рівняння.

Геометричний порядок плоскої кривої дорівнює найбільшій можливій кількості точок перетину її з прямою лінією, а порядок просторової кривої – кількості точок перетину її з площиною загального положення.

Основні властивості проекцій плоских кривих:

1) порядок плоскої алгебраїчної кривої при паралельному проеціюванні не змінюється;

2) нескінченно віддалені точки кривої проецюються в нескінченно віддалені точки її проекції;

3) дотична до кривої проецюється в дотичну до її проекції;

4) число точок перетину плоских кривих зберігається при проеціюванні;

5) проекції точок перетину знаходяться на спільних лініях зв’язку.

Коло є найбільш поширеною в техніці плоскою кривою. У загальному випадку коло проецюється в еліпс, велика і мала осі якого є проекціями взаємно перпендикулярних діаметрів кола.

Проекційні властивості просторових кривих ліній такі ж самі як і плоских кривих. Але є і деякі відмінності. Так, наприклад, просторова крива лінія проецюється тільки в плоску криву. Зображення точок на проекціях кривих ліній може не відповідати положенню самих точок.

З усіх просторових кривих ліній, що використовуються в техніці, найбільш розповсюджені гвинтові лінії.

Циліндричною гвинтовою лінією називається лінія, яка розташована на поверхні циліндра та утворена рівномірним рухом точки по твірній, що рівномірно обертається навколо осі циліндра.

Висота циліндра h, на поверхні якого точка здійснює один поворот навколо осі, називається кроком гвинтової лінії.