Лекція №5

Математика в Європі в середні віки

Математика епохи Відродження

1. Епоха, коли в Західній Європі формувалися й панували феодальні відносини, тобто від V—VI ст. до кінця XVI ст. називається середніми віками. Це тисячоліття справді знаходиться посередині між добою античного рабовласницького суспільства і європейським Відродженням. Зрозуміло, що наведені історичні межі умовні. Італійський Ренесанс XIV—XVI ст., є найбільш яскравим виявом розпаду феодальної формації і зародження капіталізму. Академік В. А. Стеклов у книжці „Математика і її значення для людства” дав виразну характеристику ідеологічного й культурного клімату середньовічної Європи: „У той час насувається на Європу лихоліття, яке занурило її у непроглядний морок неуцтва і застою; я маю на увазі християнство ... Вік розуму змінюється віками непробудного розумового сну, який продовжувався майже без перерви півтори тисячі років. В історії людства не знайти більш грандіозного й жахливого за своїм виявом нещастя, ніж це ”.

Неможливо навіть перелічити злочини церковників проти людства — від розгрому знаменитої Олександрійської бібліотеки до вогнища, на якому інквізитори в 1826 р. спопелили свою останню жертву — сільського вчителя.

Про рівень знань VII—VIII ст. в Західній Європі свідчать слова ірландського ченця Бєди Вельмиповажного (бл. 673-735): „Хто вміє ділити, тому ніяка справа не здаватиметься важкою. Я знаю багато складних речей, але немає нічого складнішого, ніж дії з дробовими числами”. А тим часом Бєда був одним з найосвіченіших людей того часу. Про низький рівень математичної культури і умови роботи вчених свідчить і той факт, що серед звинувачень, висунутих проти самого папи римського Сильвестра II (Герберта) (бл. 940-1003) було й те, що він вміє ділити будь-які великі числа. В очах церковників це було незаперечним свідченням того, що він (навіть будучи папою римським!) продався сатані. З XII ст. починають діяти слідчі органи церкви, які потім організувалися в інквізицію — страхітливий інструмент терору проти всього, що хоча б трохи розходилося з інтересами церкви. Так, за наказом глави іспанської інквізиції Торквемади (1420- 1498) було спалено живими 10220 чоловік. У 1486 р. він послав на вогонь іспанського математика Паоло Вальмеса тільки за те, що той мав необережність розповісти про свій успіх — розв’язання рівняння четвертого степеня. Ученого звинуватили в спілкуванні з нечистою силою, бо він зробив те, що „з волі божої людському розуму не дано”. А всього жертвами інквізиції стало близько 12 мільйонів чоловік. Серед них — багато відомих учених у галузі фізико-математичних наук.

Природно, що середньовічна Європа мало дала для математики. Минуло тисячоліття, поки завдяки діяльності невтомних поборників і пропагандистів науки вдалося подолати шалений опір церковників, недовіру і ворожість до математичних наук.

В цю епоху в Європі зароджуються і починають застосовуватися потрійне правило, правило змішування, ланцюгове правило та ін. Робляться переклади грецьких та арабських праць з математики. В Європі з’являються і перші вчені — теоретики математики. Прикладом може бути італійський вчений Леонардо Фібоначчі, або інакше Леонардо Пізанський (бл. 1170 - після 1228). Батько Леонардо працював в алжирській факторії, яка належала італійській фірмі з багатого міста Пізи. Отримавши освіту в Алжирі під керівництвом вчителя і доповнивши її відомостями з області математики, які він отримав під час багатьох подорожей у торгових справах в Єгипет, Сірію, Грецію, Сіцілію і Прованс, Леонардо вирішив написати книгу, яка ознайомила б „рід латинян” з основами математики і дала б їм можливість успішніше вести торгові розрахунки, пов’язані з математичними викладками.

Ця книга була написана у 1202 році і називалась „Книга абака”. В 1228 Леонардо доповнив її і видав у переробленому вигляді. У ній вводяться індійські цифри і нуль, описуються найбільш практичні методи обчислення з цілими і дробовими числами, пояснюються способи добування квадратних і кубічних коренів. Тут же містяться правила „великого способу” для знаходження вартості товарів, тобто потрійного правила, складного потрійного правила, пропорційного ділення, ланцюгового правила, а також спосіб визначення проби металів. Далі слідує розділ „Про запитання абака”, який по суті є викладенням відомостей з алгебри, так як в ньому розглядаються питання, які приводять до розв’язання рівнянь першого степеня шляхом простого і подвійного хибного положення. Невідоме позначається у Леонардо словом „річ”, що було запозичене у східних народів. В цій же главі, де розбираються способи добування квадратних і кубічних коренів, розглядаються також і арифметичні дії над радикалами, причому пояснюються геометричним шляхом і операції над двочленами виду .

Характерним в записах Леонардо є те, що відрізки прямої він позначає або двома буквами, поставленими на початку і в кінці відрізка, або навіть однією буквою, поставленою на початку відрізка. Таким чином, виконуючи операції над відрізками, Леонардо в записі виражає їх як операції над величинами, вираженими буквами.

Книга Леонардо містить в собі також питання алгебри і вчення про пропорції в тому вигляді, в якому це викладено у аль-Хорезмі. Подібно аль- Хорезмі, Леонардо не визнає від’ємних коренів при розв’язанні квадратних рівнянь, але деякий натяк на від’ємні значення ми знаходимо в одній із його задач; в ній необхідно визначити грошові суми, які належать декільком особам. Розв’язуючи задачу, Леонардо прийшов до висновку, що розв’язання неможливе, „хіба тільки припустити, що один із них мав борг, а не капітал”.

„Книга абака” мала велике значення уже в тому відношенні, що вона давала європейським читачам комплекс математичних знань досягнутий народами Сходу. Крім того в цій роботі Леонардо перший в Європі став застосовувати алгебру для розв’язання геометричних питань; при. цьому він добре усвідомлював, що арифметика, алгебра і геометрія знаходяться у взаємозв’язку і повинні „допомагати одна одній”.

Окрім „Книги абака”, Леонардо написав декілька інших математичних творів, при цьому в творах алгебраїчного характеру ми зустрічаємо цікаве наближене розв’язання кубічного рівняння виду:

.

Розв’язок цього рівняння Леонардо дав з великою точністю. В цьому ж творі є задача на невизначене рівняння, яке Леонардо розв’язує для окремого випадку.

З геометричних творів Леонардо найбільше значення має „Практична геометрія”, написана в 1220 р. В цій роботі Леонардо, користуючись працями Евкліда і інших грецьких авторів розглядає питання про знаходження площ плоских прямолінійних фігур, про вимірювання круга, про многокутники, сфери і циліндри. В „Практичній геометрій” наводиться, між іншим, доведення того, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівний сумі квадратів трьох його вимірів; тут також викладено доведення теореми Герона і властивості медіан трикутника перетинатися в одній точці. В цьому ж творі зустрічаються задачі на геометричні побудови, виконані при допомозі алгебри; наприклад, таким методом розв’язана задача про вписаний в рівносторонній трикутник квадрат, що спирається на основу цього трикутника.

З X ст. в математичних обрахунках широко розповсюдилось обчислення на абаці, яке було вдосконалене ще римлянином Боецієм, а далі отримало теоретичне обґрунтування у Герберта. Прихильники цього обчислення отримали, як було згадано раніше, найменування абацистів. Але з того часу, коли в Європі почали з’являтись переклади праць східних математиків, методам обчислення, які використовували абацисти, були протипоставлені методи прихильників індійських цифр, які ввели застосування нуля і метод позиційного значення цифр. Представників другого напрямку називали алгоритміками. Безперечно прогресивним треба вважати метод алгоритміків, так як вони багато в чому перевершували абацистів. Абацисти зовсім не вживали нуля; добування коренів другого степеня було доступне їм тільки в деяких випадках, в той час як алгоритміки могли вільно добувати корені навіть третього степеня. На кінець, абацисти в своїх обчисленнях дотримувались дванадцяткових дробів, які мали римське походження, а алгоритміки користувалися шістдесятковими дробами, перевага яких — в їх зручному записі.

По мірі розповсюдження творів східних авторів методи абацистів втрачали своє значення. Остаточний удар абацистам був нанесений працями Леонардо. Хоча його книга і називалась „Книги абака”, але вона принесла в Європі остаточну перемогу алгоритмікам.

В XIV ст. багато авторів розглядали питання математики і особливо геометрії, але в більшості їх праць не містилось яких-небудь нових ідей, так як думки авторів сковували схоластичні вузи католицької церкви. Зовнішні умови, які створилися в цьому столітті в деяких європейських державах, також не могли сприяти вільному розвитку наук. Між Англією і Францією з 1337 до 1453 року тягнулася Столітня війна. Епідемія чуми, яка пройшла по Європі, принесла незчисленні лиха її населенню.

Одним із відомих математиків XIV ст. був англійський математик архієпископ кентерберійський Томас Брадвардін (1290 - 1349). Ним написана „Наочна геометрія”. В цій роботі Брадвардін багато уваги приділяє вивченню зіркоподібних многокутників і ізопериметричних фігур. Цікаві встановлені ним наступні положення:

Серед ізопериметричних многокутників найбільшу площу має той, що має більше число кутів.

Серед ізопериметричних многокутників з однаковим числом вершин найбільшу площу має рівнокутний.

Серед многокутників ізопериметричних і рівнокутних, які мають однакову кількість вершин найбільшу площу має рівносторонній.

Серед ізопериметричних фігур круг має найбільшу площу.

Крім того, Брадвардіну приписують введення в європейську практику понять тригонометрії, запозичених ним у народів Сходу. Він користується поняттями, які виражають поняття тангенс і котангенс, називаючи їх „umbra versa” і „umbra recta”, що означає „зворотна тінь” і „пряма тінь”, як це було в джерелах, які він вивчав.

Другим значним математиком XIV ст. був нормандський єпископ Ніколь Орем (1323 - 1382), який викладав деякий час в Паризькому університеті.

В його роботах вперше зустрічаються поняття про дробовий степінь і його позначення. Але його записи таких степенів були дуже громіздкими. До нашого часу застосування таких записів не збереглося.

Орем відомий також тим, що вніс в математику метод, подібний до методу прямокутних координат. Системою координат для Орема є сторони прямокутника: довжина і ширина. Цю систему Орем застосовував як для дослідження геометричних фігур, так і для вивчення явищ природи.

Інтерес, який виник у математиків середньовіччя до творів давніх авторів, і викликаний ним розвиток самостійної творчості у європейських вчених особливо сильно виявились у XV і XVI ст., коли під впливом особливих політичних і економічних умов Європа вступила в історичний період, який отримав назву епохи Відродження наук і мистецтв.

2. XV I XVI століття ввійшли в історію під назвою епохи Відродження, тобто Відродження рівня науки, мистецтва, якого було досягнуто в античному світі. Ф. Енгельс дав виразну характеристику цих двох століть: «Це був найбільш прогресивний переворот з усіх пережитих до того часу людством, епоха, яка потребувала титанів і яка породила титанів щодо сили думки, пристрасті й характеру, щодо багатосторонності і вченості» (Маркс К. та Енгельс Ф. Твори, т.20, с.326). На епоху Відродження припадає діяльність таких вчених, як Леонардо да Вінчі, Галілео Галілей і Микола Коперник. Математика стає особливо популярною – у ній шукають останній критерій істини, і Леонардо да Вінчі, захищаючи її, проголошує: «Хто ганьбить найвищу вірогідність математики, той живиться самбуром».

Наука, в тому числі й математика, в цей час розвивалася в умовах жорстокого терору церковників. 11 лютого 1600 р. в Римі на площі Квітів було спалено поборника наукової істини Джордано Бруно. Відчувши, яку загрозу несуть релігійним догмам і легендам астрономічні відкриття Галілео Галілея, домініканський проповідник Каччіні в 1664 р. проклинав допитливість людей, які захоплюються «лжемудруваннями» математиків (математиками тоді називали і фізиків, і астрономів), доводив, що математика є вигадка сатани, а філософи, які її вивчають, - винуватці всіх єресей і тому мають бути вигнані з християнських країн.

Розправи над прогресивними вченими не зупинили людської думки. Нових успіхів досягає математика, яка розвивається головним чином в Італії, Франції, Німеччині, а пізніше і в Голландії. Помітним явищем в історії математики була діяльність Луки Пачолі (бл. 1445-бл. 1515), який в 1494 р. опублікував велику працю «Сума знань з арифметики, геометрії, відношень і пропорційності». У ній містилися різні правила арифметичних дій, алгебраїчні обчислення. Пачолі широко використовує алгебраїчну символіку, розроблену італійськими алгебраїстами XVI ст. Наступний крок у розробці математичної символіки зробили німецькі алгебраїсти XVI ст. – «косити», серед яких найбільш відомі – Міхаель Штіфель (1483-1567) та Адам Різе (1489-1559). Термінологія косистів була поширеною в Європі. Нею користувався й Л.П.Магніцький у своїй «Арифметиці».

Видатні досягнення XVI ст. належать італійським вченим. Талановитий самоук математик і механік Ніколо Тарталья (1500-1557) розв’язав у радикалах кубічне рівняння типу і деякі інші типи неповних кубічних рівнянь.

У 1535 Фіоре викликає на змагання надзвичайно талановитого математика НікколоТарталью (1500–1557), який, знаючи, що Фіоре має засіб для розв’зання кубічного рівняння, докладає максимум зусиль і сам знаходить розвязок. Тарталья сів за парту і через кілька днів диспуту знайшов спосіб розв'язання рівняння третього степеня. Я "застосував все запопадливість, старанність і мистецтво, щоб знайти правило цих рівнянь, і це зробити за десять днів передчасно, тобто 12 лютого, завдяки щасливій долі", - згадував пізніше Тарталья.

Поєдинок відбувся 12 лютого 1535 р. Кожному із змагаючих треба було розв’язати по 30 завдань. За дві години Тарталья впорався з усіма завданнями, запропонованими йому Фіоре, і розв’язав завдання суперника.

Тарталья перемагає на змаганні, але й тримає своє відкриття в секреті. Нарешті, на сцені з'являється Джіроламо Кардано (1501–1576). Він безуспішно намагається знайти алгоритм рішення кубічного рівняння й у 1539 р. звертається до Тартальї з проханням повідати йому таємницю

Джіроламо Кардано (1501-1576), давши клятву, що нікому не розголосить таємниці, вивідав у Тартальї секрет його відкриття. Кардано був талановитим математиком, йому вдалося узагальнити і поширити цей метод Тартальї на інші типи неповних, а потім і на повні кубічні рівняння.

І хоча Кардано чесно написав про те, від кого він дізнався секрет рішення рівняння третього степеня, Тарталья образився, вважав себе обкраденим і написав своєму "другу" гнівний лист.

Кардано не відповів на лист Тартальї. За честь вчителя заступився Л. Феррарі й у своє чергу написав Ніколо різкий лист. На закінчення він викликав Тарталью на публічний диспут по "геометрії, арифметиці чи подібними з ними дисциплінами, такими як астрологія, музика, космографія, перспектива, архітектура та інших."

Поєдинок відбувся 10 серпня 1548 р. в Мілані. Тартальї важко було протистояти молодому блискучому Феррарі, і він зазнав поразки. Безславне для Тартальи завершення диспуту применшило його науковий авторитет і дуже зашкодило подальшій кар'єрі.

У 1545 р. Кардано опублікував книгу «Велике мистецтво, або про алгебраїчні правила» в якій, порушуючи дану Тартальї клятву, опублікував його і свої відкриття, а також відкритий Луїджі Феррарі (1552-1565), учнем Кардано, метод розв’язування в радикалах рівняння четвертого степеня. Результати Тартальї, Кардано і Феррарі мали величезне значення для подальшого прогресу алгебри і всієї математики. Хоча знайдені формули не давали якихось переваг перед наближеними методами, їх відкриття стало кроком вперед порівняно із здобутками древніх. Перед наукою відкрилися нові глибокі проблеми: насамперед питання про розв’язність у радикалах рівнянь вищих степенів, яке привело спочатку до створення теоретико-групового методу досліджень у математиці, а потім і одного з найбільш глибоких і плідних розділів сучасної математики – теорії груп.

Уже при розв’язуванні квадратних рівнянь доводилося добувати квадратні корені з від’ємних чисел. Індійські математики вважали, що такі квадратні рівняння не мають розв’язків і здобуті корені не брали до уваги. Кардано і його сучасники зустрілися з новим явищем: у випадку, коли всі коефіцієнти і корені кубічного рівняння були дійсними, за формулою Тартьльї-Кардано

доводилося під кубічними кореня добувати квадратний корінь з від’ємного числа. Ось приклад такого рівняння: ,

(*)

хоча воно має всі дійсні корені: -5,1,4. Робилися спроби звільнити формули (*) від добування квадратного кореня з від’ємних чисел, бо це призводило до уявних чисел, а також звести її до оперування з дійсними числами, але ці пошуки були безуспішними. Тому цей випадок і був названий незвідним. Так логіка розвитку самої математики змусила математиків зробити ще один крок у розширенні поняття числа – ввести комплексні числа. Ці надзвичайно важливі математичні об’єкти були введені з потреб математики, але з часом знайшли широке застосування в розв’язуванні найрізноманітніших практичних задач гідро- і аеродинаміки,, біології, техніки, космонавтики.

Значення комплексних чисел розумів уже Кардано. Правила дій на ними чітко виклав італійський математик Рафаель Бомбеллі (бл.1526-бл.1573).

Міхель Штіфеля (19.04.1486-19.04.1567), який був священиком, часто згадують у зв’язку з його обчисленнями дня кінця світу. За розрахунками Штіфеля, це мало трапитися 15 жовтня 1533 р., про що він повідомив своїх прихожан. Чекаючи страшний день, люди занедбали господарство. Пророкування, звичайно, не збулося, і вони зажадали від пророка-невдахи відшкодування збитків. Штіфелю довелося рятуватися втечею. Він зробив правильний висновок із своєї невдачі і залишивши числові марновірства, серйозно зайнявся математикою. Ці заняття принесли йому справжній успіх. Штіфель дав словесне формулювання формули для натурального показника степеня, висунув ідею логарифма числа та ідею багатовимірного узагальнення куба. Трактат ученого «Повна арифметика» користувався в свій час великою популярністю.

На межі епох Відродження і Нового часу височить велична постать глибокого мислителя Франсуа Віта (1540-13.12.1603). Учений залишив велику наукову спадщину. Алгебра в його творах стала загальною наукою про алгебраїчні рівняння, яка ґрунтується на символічних позначеннях. Він відкрив цікаві теореми про залежності між коефіцієнтами і коренями алгебраїчних рівнянь, довів ряд формул плоскої та сферичної тригонометрії, розв’язав багато складних задач. Нідерландський інженер Сімон Стевін (1548-1620) у 1585 р. опублікував книгу «Десята», де вперше в Європі виклав теорію десяткових дробів і десяткову систему мір. Він енергійно виступав проти різних числових марновірств, проголошуючи рівноправність усіх чисел як математичних понять: «Ми приходимо до висновку, що не існує ніяких абсурдних, незбагненних, неправильних, нез’ясованих чи глухих чисел. Серед чисел існує така досконалість і узгодженість, що нам потрібно міркувати дні і ночі на їх дивною закономірністю». Математика знаходить широке застосування в розкритті таємниць природи. У 1543 р. вийшла праця Миколая Коперника «Про обертання небесних сфер». Математичні методи широко застосовують у живописі Леонардо да Вінчі і Альбрехт Дюрер, у фізичних дослідженнях – Галілей.

Рекомендована література:

[1] с. 131-137; [4] с. 98-106; [6] с. 106-125; [7] с. 103-122.

[1] c. 137-166; [4] c. 108-118; [5] c. 96-129;[6] c. 106-137;[7] c. 103-122.