Лекція №1

Математика як наука і навчальний предмет.

Основні періоди її розвитку. Предмет історії математики, її зв’язок з іншими науками. Розвиток поняття про число.

План:

1. Математика як наука і навчальний предмет.

2. Основні періоди її розвитку.

3. Предмет історії математики, її зв’язок з іншими науками.

4. Розвиток поняття про число.

1. Математика як наука сформувалася в Стародавній Греції в VIII – III ст. до н. е., коли Фалес, Піфагор, Евклід та інші вчені систематизували відомі на той час математичні знання і виклали їх з точним обґрунтуванням. Тоді ж виникло і слово "математика", яке в перекладі з грецької означає "знання", "наука". Математика займається вивченням особливої сторони довільних предметів, явищ або процесів оточуючого світу, а саме кількісних відношень і просторових форм. Під впливом розвитку науки і суспільно-виробничої практики розширюються галузі застосування математичних знань, зростає обсяг кількісних відношень і просторових форм, що їх досліджує математика, відбувається математизація наукових знань. Застосовуючи різні числові системи і методи кількісного та структурного аналізу, математика під час аналізу явищ виділяє істотні їх властивості, абстрагує від змісту і вивчає теоретичні знання про ці явища за допомогою формальної логіки.

Кожна наука , користуючись математичними методами, будує певну схему-уявлення про предмет (явище або процес), що вивчаються. Ця схема - уявлення у вигляді якоїсь формули, рівняння або у вигляді геометричного образу називається математичною моделлю об’єкта (предмета, явища, процесу), що вивчається. Потім за допомогою цієї моделі роблять логічні висновки, справедливість яких перевіряють на практиці, в експерименті. Якщо результати практичної перевірки підтверджують справедливість цих висновків-наслідків побудованої моделі, то це служить свідченням правильності моделі; якщо хоча б один з висновків-наслідків не підтверджується на практиці, то вчені уточнюють розроблену модель об’єкта, що вивчається. Рух до істини, до пізнання справжніх законів природи і суспільства йде через побудову все більш точних, більш правильних математичних моделей предметів (явищ, процесів) ,що вивчаються.

Потрібно особливу увагу звернути на специфіку використання математичних знань. Відомо, що процес використання математики розбивається на три етапи: етап формалізації, тобто побудови математичної моделі, етап внутрімодельного розв’язування задачі, етап інтерпретації, на якому отримане математичне розв’язання переводиться на мову вихідної ситуації і вже на ньому змістовно інтерпретується. Потрібно відмітити, що саме перший етап вимагає від школярів доброго знання законів природознавства, щоб вміти правильно будувати математичні моделі, використовуючи виявленні кількісні закономірності практичної задачі, що досліджується. Традиційно основна увага в шкільній математиці звертається на привиття навичок внутрімодельного розв’язування задач, перший і третій етапи залишаються явно в затінку. Для посилення політехнічної спрямованості навчання математиці необхідно посилити увагу саме до етапу формалізації та до етапу інтерпретації, не обмежуючи всю справу тільки розв’язуванням текстових задач.

Таким чином, математика займається розробкою методів побудови і методів вивчення конкретних математичних моделей для різних наук. Для цього вона будує математичний апарат, розробляє математичні поняття. Наприклад, числові системи (системи натуральних, раціональних і дійсних чисел), що вивчаються в школі, є прикладом такого математичного апарату, за допомогою якого в самих різних науках будують математичні моделі тієї сторони об’єктів (предметів, явищ), що вивчаються, яка пов’язана з вимірюванням величин. Функція являє собою другий приклад математичного апарату, за допомогою якого в різних науках будують конкретні математичні моделі явищ або процесів, що вивчаються. При побудові математичної моделі використовується особлива математична мова (сукупність символів та позначень, прийнятих у математиці). Саме тому говорять, що математика являє собою всезагальну мову науки. Цю сторону математики вже давно виділили. Так, наприклад, ще Галілей майже чотириста років тому назад писав: “Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык, и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики…”

Математизація наук і техніки як засіб випереджуючого моделювання процесів і явищ свідчить про те, що галузь застосування математичного методу необмежена, всі види руху можуть вивчатися математично.

2. Історію математики поділяють на чотири періоди:

зародження математики;

елементарна математика;

створення математики змінних величин;

сучасна математика.

Перший період можна назвати ще підготовчим. Він тривав приблизно до VI – V ст. до н. е., тобто до того часу, коли математика стає самостійною наукою з власним предметом та методами. Початок періоду губиться в глибині історії первісного суспільства.

Форми і шляхи розвитку математичних знань в різних народів досить різноманітні, але спільним для них є те, що всі основні поняття математики – поняття числа, фігури, площі, нескінченного ряду та ін. – виникли з практики й пройшли довгий шлях становлення й вдосконалення.

Наприклад, поняття числа виникло внаслідок практичної необхідності перелічувати предмети. Спочатку лічили з допомогою пальців. Це й спричинилося до появи таких систем числення як п’ятіркова, десяткова, двадцяткова. Найбільшого поширення набула десяткова система – за кількістю пальців на обох руках людини. З’явилися початки письмової нумерації,перші прийоми виконання арифметичних операцій. Ряд відомих і використовуваних натуральних чисел був скінченним і продовжувався поступово. У цей період нагромаджувався фактичний матеріал. Математики як окремої науки ще не було.

Другий період охоплює час від VI – V ст. до н. е. до середини XVII ст. Суспільний розвиток, розвиток господарства, торгівлі зумовили нагромадження великого конкретного матеріалу у вигляді окремих прийомів арифметичних обчислень, способів обчислень площ, об’ємів тощо. Значні відомості з математики були зібрані у Вавілоні, Єгипті, Китаї. Проте ство­рення елементарної математики пов’язують з Стародавньою Грецією, де математика вперше стала самостійною галуззю знань. У цей період Евклід створив “Начала” , які на два тисячоліття були зразком дедуктивної побудови математичної теорії.

Розвиток арифметики привів до створення теорії чисел. Водночас формується поняття цілого та раціонального числа. Виникає поняття дійсного числа, теорія якого була розроблена лише в наступному періоді. Наприкінці періоду створюється алгебра як буквене числення. Розвиток геодезії, астрономії зумовив створення плоскої та сферичної тригонометрії. Період елементарної математики закінчується тоді, коли починається перехід від математики сталих до математики змінних величин, тобто коли основним об’єктом вивчення в математиці стають процеси та рухи.

Третій період ( середина XVII ст. – початок XX ст.) починається з вивчення змінних величин. Створюється аналітична геометрія, інтегральне та диференціальне числення. На перший план висувається поняття функції, яке відіграє таку саму основну роль, як раніше число або величина. Формується багато нових розділів математичної науки — теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення, теорія ймовірностей, проективна та диференціальна геометрії. Виникають і розвиваються прикладні розділи математики. Створюється аналітична механіка, що значно просунула вперед розвиток астрономії. Почалася математизація фізики. В геометрію входять рух і перетворення.

У цей період відбувається перегляд логічних основ математичного аналізу. Розробляється теорія границь – фундамент математичного аналізу. У XVIII ст. одним з центрів наукових математичних досліджень стає Петербурзька Академія наук, поступово створюється вітчизняна математична школа, яка досягла блискучих успіхів у XIX столітті.

Четвертий період починається з середини XIX ст. Нагромадження величезного фактичного матеріалу зумовило необхідність його глибокого логічного аналізу; Вже в першій половині XIX ст. було встановлено нерозвязуваність у радикалах алгебраїчних рівнянь пятого і вищих степенів. Розроблено теорію функцій комплексної змінної, обґрунтовано аналіз нескінченно малих, створено неевклідову геометрію. Такими були фундаментальні відкриття, що лягли в основу сучасної математики.

Характерним для нового періоду є ускладнення форм зв’язку математики з природознавством. Дедалі більше виникає математичних теорій, поява яких пов’язана не тільки з безпосередніми запитами природознавства і техніки, а й з внутрішніми потребами самої математики: теорія функцій комплексної змінної, неевклідова геометрія, теорія груп та інші.

Наприкінці XIX ст., коли було створено теорію множин, багато уваги приділяється питанням обґрунтування математики. Далі розвивається класичний математичний аналіз: розробляється вчення про функціональні простори, створюється функціональний аналіз, теорія диференціальних та інтегральних рівнянь.

У XX ст. всі розділи математики розвиваються значно інтенсивніше, ніж у попередні періоди , як за кількістю праць, так і за довершеністю методів та значущістю результатів. Сьогодні потреби розвитку самої математики, математизація різних галузей науки і виробництва зумовили появу цілого ряду нових математичних дисциплін: теорії алгоритмів, теорії інформації, дослідження операцій та ін.

3. Склад математики, як і будь – якої іншої науки, наступний:

факти, накопичені в ході її розвитку;

гіпотези, тобто засновані на фактах наукові твердження, що піддаються в подальшому перевірці досвідом;

результати узагальнення фактичного матеріалу, виражені в математичних, в даному випадку, теоріях і законах;

методологія математики, тобто загальнотеоретичні тлумачення математичних законів і теорій, що характеризують загальний підхід до вивчення предмета математики.

Всі ці елементи взаємозв’язані і постійно знаходяться в розвитку. З’ясування того, як відбувається цей розвиток в історичний період, що вивчається і куди він веде, і є предметом історії математики, однієї з математичних дисциплін.

Історія математики – це наука про об’єктивні закони розвитку математики.

4. Поняття числа є основним поняттям математики. Його зміст намагалися з'ясувати найвидатніші математики всіх часів. Поняття числа відображає кількісні відношення, що існують в реальному світі, і виникло воно в результаті практичної діяльності людей. Число є поняття історичне, абстрактне, оперативне і таке, що розвивається. Число виникає в результаті абстрагування від конкретних властивостей множин предметів і розглядається як кількісна характеристика (потужність) всіх еквівалентних між собою множин.

Втілюючи в собі найістотніші і найзагальніші властивості загальних кількісних відношень і залежностей, число виступає не тільки як абстрактна кількість, але і як об'єкт арифметичних операцій. Арифметичні операції над числами запозичені з дійсності такою ж мірою, як і самі ці числа

Вже на ранньому ступені свого розвитку людина змушена була в повсякденному житті виконувати операції над множинами, які складалися з конкретних об'єктів: додавати здобич, яку приносили мисливці, віднімати з неї частину, щоб зробити запас, тощо. Отже, дії додавання і віднімання виникають спочатку, як дії над самими множинами в формі об'єднання їх в одну множину і відділення частини множини. Множення виникає в результаті лічби предметів рівними частинами (по два, по три і т.д.), ділення— як ділення сукупності на рівні частини.

Лише в багатовіковому досвіді склалося уявлення про об'єктивний характер цих дій і незалежність остаточного результату від природи елементів множин. З'являється потреба сформулювати правила дій та їх властивості, створити методи розв’язування задач. Так виникла наука про числа і дії над ними— арифметика

Зауважимо, що ізольовано від арифметичних операцій зміст поняття числа не може бути розкритий повністю.

Операції над числами стали основою для виникнення алгебри — науки про алгебраїчні операції.

Оперативні властивості чисел, тобто властивості, пов'язані з можливістю виконувати над ними операції (за певними законами) становлять один з найістотніших аспектів діалектичного змісту поняття числа. Тому весь курс арифметики і алгебри повинен бути зорієнтованим на поступове створення і зміцнення в учнів уявлень про число, як об'єкт арифметичних операцій.

Поняття числа як одне з основних засобів пізнання кількісних відношень дійсного світу, постійно поглиблювалося і збагачувалося новим змістом, набуваючи все більшого ступеня абстракції і логічної завершеності.

Поняття числа в тому вигляді, в якому воно виступає в сучасній математиці, є складним і досить широким за своїм змістом. Воно охоплює такі числові типи, як цілі додатні числа і дробові додатні числа, число нуль, від'ємні, ірраціональні, уявні числа

Першими виникли числа натуральні. Разом з поняттям натурального числа формувалося і поняття дробу. Дроби виникли в результаті необхідності вимірювання конкретних величин: часу, довжини, площі, об'єму і т.д. Тому дроби спочатку виступали не як абстрактні поняття, а як певні частки конкретних одиниць вимірювання. Лише поступово в результаті довгої практики вимірювання дроби втратили свій конкретний якісний зміст часток певної одиниці фізичної величини і перетворилися в абстрактне числове поняття.

Введення дробів спричинило розширення множини натуральних чисел до множини додатних раціональних чисел.

На відміну від додатних раціональних чисел ірраціональні, від'ємні і уявні числа виникли, головним чином, в результаті внутрішніх потреб математики.

Ірраціональні числа спочатку набули конкретно- геометричного змісту, як відношення несумірних відрізків, наприклад діагоналі квадрата і його сторони (піфагорська школа, Уст. до н.е.). Далі поняття ірраціонального числа розвинули індійські математики епохи середньовіччя. Якщо у грецьких математиків ірраціональні числа виступали в геометричній формі, то в індійських—у вигляді коренів (радикалів) з раціональних чисел. Оскільки ірраціональні числа не можна застосовувати для лічби предметів чи для вираження частини цілого, то їх аж до XVII ст. називали „примарними", глухими", „неможливими".

Пізніше потреба в дійсних числах виникла лише тоді, коли стали вивчати неперервні змінні величини. Природно тому, що перше означення дійсного числа (раціонального і ірраціонального) було дане одним із засновників математичного аналізу Ньютоном (1643- 1727). За Ньютоном, число— не множина одиниць, а насамперед абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини того самого роду, взятої за одиницю.

Логічне обґрунтування дійсних чисел здійснили в другій половині XIX ст. німецькі математики Дедекінд, Кантор, Вейєрштрасс.

Особливий інтерес має процес виникнення і розвитку поняття від'ємного числа, оскільки в ньому найповніше виражені загальні закономірності складного суперечливого розвитку абстрактного поняття числа

Перші ідеї поняття від'ємного числа зустрічаються в основному творі „Арифметика" стародавнього грецького математика Діофанта (ІІІ ст. н е.). Разом з тим саме поняття від'ємного числа, як протилежного додатному, Діофанту ще не відоме. Наступний крок у розвитку від'ємних чисел зробили індійські математики, з яких найбільш відомі Аріабхатта І(У ст.), Брамагупта (VII ст.), Бхаскара ІІ (ХІІ ст.).

Індійські математики вільно оперували з від'ємними числами, ввели поняття нуля, мали уявлення про реальне призначення від'ємних чисел через протиставлення боргу і майна

У європейській науці від'ємні числа утвердились лише з часу створення Р.Декартом (1596- 1650) аналітичної геометрії, яка остаточно знищила принципову відміну між додатними і від'ємними коренями рівнянь.

Проте, незважаючи на широке застосування від'ємних чисел в математиці, вони ще довго розглядались як „несправжні" або „фіктивні" поняття.

Негативне ставлення до від'ємних чисел пояснювалося невмінням логічно обґрунтовувати правила арифметичних дій над ними.

Щоб розв'язати це завдання, потрібно було виробити принципово новий підхід до проблеми обґрунтування математичних теорій.

Першим, хто з всією ясністю зрозумів, що довести правила виконання операцій над від'ємними числами так само не можливо, як довести аксіому паралельних Евкліда в абсолютній геометрії, був геніальний російський математик М.І.Лобачевський. Творець неевклідової геометрії Лобачевський був також одним з перших математиків, які стали на шлях строго логічної побудови теорії від'ємних чисел і тим самим привернули велику увагу до питань обґрунтування науки про число.

Історичний і логічний процес формування поняття від'ємного числа повністю завершився лише тоді, коли згідно з дією діалектичного закону єдності і боротьби протилежностей від'ємні числа було об'єднано з числами додатними і числом нуль в єдиному понятті кільця цілих чисел.

Завершальною ланкою в розвитку поняття числа стало утворення комплексних чисел. Спочатку комплексні числа виникли неусвідомлено в результаті розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів. Потім довгий час комплексні числа сприймаються, як неприродні і протиставляться дійсним числам. Нарешті, вони об'єднуються на основі єдиної для них інтерпретації - у вигляді точок, або векторів площини. Арифметичну теорію комплексних чисел вперше побудував у 1835р. ірландський математик Гамільтон.

Рекомендована література:

[1] с. 9-20; [6] с. 18-20; [7] с.21-31

|6] : с. 6-17;

[8];

[9] :

Гнеденко Б. В. Математика в современном мире и математическое образование / 91, № 1, с. 2;

Гнеденко Б. В. Математика и проблемы надёжности и безопасности современной техники / 92, №1, с. 2.

Лекція № 2

Математика Стародавнього Вавілону і Єгипту.

Математика Стародавнього Сходу (Індія, Китаю).

План:

1. Розвиток математики в стародавній Індії.

2. Математика стародавнього Китаю.

3. Розвиток математики в Стародавньому Єгипті.

4. Математика Стародавнього Вавілону.

1. Найдавніші математичні тексти дійшли від цивілізацій Стародавнього Сходу – Єгипту й Вавілону. У цих країнах не було великих земельних площ і господарська діяльність вимагала проведення значних іригаційних робіт, землевпорядкування, зокрема межування ділянок після повеней, які приносили річковий намул, що руйнував межі земельних наділів. Зміцнення централізована держав сприяло створенню міст, розвитку торгівлі. Математичні задачі виникали у зв’язку з необхідністю виконувати розрахунки для будівельних робіт, під час збирання податей, розподілу майна, обміну й розподілу продуктів, вимірювання площ полів, об’ємів гребель і зерносховищ, організації великих караванів та ін.

Основними пам’ятками єгипетської математики є папіруси Райнда і Московський. Перший названий іменем англійського єгиптолога, який його знайшов, зберігається в Британському музеї в Лондоні і частково в Нью-Йорку. Останнім часом цей папірус частіше називається папірусом Ахмеса. Так звали писця, яки записав його біля 1800-1600 рр. до н.е., коли Єгипет був завойований гіксосами. Цей сувій (5,25 Х 0,33м) містить 84 задачі.

У другому папірусі (5,44 Х 0,08м) 25 задач. Він також був переписаний в епоху гіксосів з тексу, який відносився приблизно до 1900 р. до н. е. Цей папірус зберігається в Московському музеї образотворчого мистецтва ім. О. С. Пушкіна.

Обидва папіруси були навчальними посібниками для школи писців. Там готували чиновників, зодчих, землемірів або гарпедонавтів (буквально – натягувач мотузки), тобто носіїв наукових знань тієї епохи. Математичні знання вже в той період цінувалися надзвичайно високо. У папірусі Ахмеса сказано, що він присвячений «досконалому і грунотовному дослідженню всіх речей, розумінню їхньої суті, пізнанню всіх таємниць».

Нумерація стародавніх єгиптян була десятковою, але неопозиційною. Цифри від 1 до позначалися паличками, були окремі знаки для чисел виду (від 10 до ). З дробів знали так звані аліквотні (виду ), існували вже окремі ієрогліфи для звичайних дробів

Для першого ступеня не становили труднощів. Множення і ділення зводилося до подвоєння і додавання.

Наприклад: 28*17

1 28

2 56

4 112

8 224

16 448

17 476

У правому стовпчику підсумували: Отже,

До процедури подвоєння приводило й ділення, нехай треба поділити 153 на 17. Виконували це так:

1 17

2 34

4 68

8 136

9 153

Тому 153:17=9.

Дії другого степеня ще громіздкі, не зовсім алгоритмічні, але вже зроблено перший крок до відокремлення операції множення від додавання.

Задачі на обчислення «аxа» (кількість речей, яку потрібно визначити) зводились до рівнянь першого степеня: . Найчастіше їх розв’язували методом хибного положення. Наприклад, у задачі «Кількість речей і її четверта частина становлять 15» (ми б записали ). Обчислювач бере , тоді “кількість речей і її четверта частина разом становлять 5”, а має бути в З рази більше (15:5=3). Тому шукана кількість дорівнює 4*3=12.

Задачі на обчислення «аxа» - перші в історії математики абстрактні задачі, які розв'язували єдиним методом. Ряд задач зводився до обчислення суми членів арифметичної і геометричної прогресій. Серед них знаменита своєю історією задача-мандрівниця (№7. [4] с.12), яка в різних модифікаціях зустрічається в різні епохи в багатьох народів.

Геометричні задачі виникали з практики будівництва, землевпорядкування і землеробства. Термінів “трикутник”, “чотирикутник”, “фігура”, “сторона фігури” тощо ще не було. Скрізь йдеться про пряме, косе чи кругле поле, ділянку з межею, шириною і довжиною. Площу прямокутників, трикутників і трапецій обчислювали за точними правилами, площу довільного чотирикутника - наближено, як добуток півсум його протилежних сторін

Вченим того часу вдалося дістати і ряд визначних результатів. Насамперед, це обчислення за точною формулою об‘єму правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача №14 Московського папіруса); великою була точність обчислення площі круга. Хоча не вдалося точно перекласти текст і розв’язання задачі №10 з Московського папіруса, в якій обчислюється об’єм кошика, що має форму половини кулі “з отвором ”, одні вважають, що вважають, що в задачі йдеться про точне обчислення поверхні півкулі, другі - бічної поверхні циліндра, треті - наближене обчислення об’єму куполоподібного зерносховища. В усіх випадках - це теж визначне досягнення.

В розв’язанні геометричних задач було вже здобуто значних успіхів, проте в окрему галузь математики геометрія ще не виділилась.

Класифікувалися задачі не за способом їх розв’язування, а за темами. Розв’язування подавались без будь-яких пояснень, інколи - лише з перевіркою знайденого результату. Проте пошук розв’язань задач був пов'язаний з інтенсивною творчою роботою абстрагуючої думки. Вчені узагальнювали здобуті результати, шукали досконаліші обчислювальні й операторні алгоритми, формували математичні поняття.

2. Вавілонською називається культура стародавнього Дворіччя, утвореного річками Тигром і Євфратом. Основу вавілонської культури заклали шумери. Вони винайшли клинописне письмо, користувалися шістдесятковою системою числення. Джерелами вивчення шумеро-вавілонської математики є клинописні таблички. З понад 500 000 табличок, які вдалося знайти, 150 містять тексти і розв’язання задач, 200 - числові таблиці. На кожній табличці від 18 до 100 задач. На одній з них записано умови 148 задач.

Більша частина математичних текстів - це посібники для учнів шкіл писців або вправи, які виконували писці й придворні чиновники. Вони написані приблизно в 1800-1600 рр до н.е., коли у Вавілоні правила династія Хаммурапі, інші таблички написані протягом трьох останніх століть до нашої ери (епохи Селевкідів). Майже всі математичні тексти написані мовою аккадян, оскільки шумери як народ вже в XXI і XX ст. до н.е. під натиском завойовників назавжди зникли з політичної історії.

Видатним досягенням вавілонської математики було створеня першої в історії позиційної шістдесяткової системи числення. Вона грунтувалась на використанні двох знаків: вертикальний клин означав 1, горизонтальний - 10. У цій системі числа 1, 2, 3, ..., 58, 59 були одиницями першого розряду, 60 одиниць першого розряду становили одиницю другого розряду, 60 одиниць другого розряду становили одиницю третього розряду і т.д.

Як бачимо, в межах одного розряду, наприклад, від 1 до 59 лічба йшла за десятковою непозиційною системою, але при переході до кожного вищого розряду - за шістдесятковою позиційною.

У V ст. до н.е. в зв’язку з потребами астрономічних обчислень з’являється особливий знак, який виконує роль нуля. Його використовували, коли всередині числа не було одиниць якогось розряду. Раніше відсутність таких одиниць позначали інтервалами між клинописними знаками. Цікаво, що свій нуль вавілоняни використовували лише всередині числа й інколи не писали його, коли в числі не було одиниць першого або першого і другого розрядів.

Навчимося записувати індійськими цифрами числа у вавілонській позиційній системі числення. Відокремлюватимемо цілу частину числа від його дробової частини (якщо така є) двома штрихами, а розряди один від одного - одним штрихом над відповідними числовими знаками. Наприклад: 24 = 24 60° (у шістдесятковій системі це “одноцифрове число”), 24=2 60+4 60°, 2"4=2 60°+4 60', 2"4=2 60°+4 , 0"24=0 60°+24 , 0"2’4= +2 , 24'59"0'59=24 60+59 60°+0 +59 і т.д.

Відсутність “нулів” у записах чисел, які не мають одиниць одного або кількох послідовних найнижчих розрядів, зумовлює їх багатозначність. Справді, запис 2'4 міг означати число 2 60+4 60°, число 2 +4 60 і взагалі будь-яке з чисел 2 +4 , де . Тільки з умови задачі та з результатів обчислень можна встановити, яке саме число означає запис такого виду. Отже, вавілонська шістдесяткова система числення була ще непослідовною позиційною. І все-таки це був величезний крок вперед. Ми і тепер вимірюємо час і кути за шістдесятковою системою, винайденою шумерами понад п’ять тисячоліть тому.

Велика основа системи числення (60) позначилася на характері вавілонської обчислювальної математики. Таблиця множення в ній містила 59 X 59 = 1711 добутків. Їх неможливо було запам’ятати і тому під час розв’язування задач широко використовували математичні таблиці, які містили квадрати чисел ( ), куби ( ), квадратні й кубічні корені, таблиці множення (m х n), для обчислення сум виду ( ) тощо. Дії додавання і віднімання записувались словами. Для множення використовувався термін “з’їсти”. Можливо це зумовлено тим. що в результаті множення довжини на ширину площа ніби з’їдала, розчиняла в собі множники. Складною операцією було для вавілонян ділення. Дію вони звели до множення . Кожного разу, коли потрібно було обчислити , говорили: “Ти візьмеш обернену до b, побачиш , помножиш a на , побачиш c”. Тому існував великий набір таблиць обернених величин, чисел виду для . Наприклад, для знайдено число виду з точністю до 15 шістдесяткових розрядів у дробовій частині. Цікавий термін вживали для частини числа a. У цьому випадку писали: потрібно “відламати від числа a”. При діленні a на кілька частин писали: “розламати a на n”. Усе це свідчить, що походження дії ділення пов’язано з практичними потребами: поділом множини предметів на рівночисельні підмножини або одного предмета на рівні частини.

У клинописних табличках мало арифметичних задач. Способи їх розв’язування були засновані на ідеї пропорційної залежності й середнього арифметичного. Уявлення про арифметичну і геометричну прогресії у вавілонян були більш розвинуті, ніж у єгиптян. Вавілоняни знали правило розв’язували різні задачі на геометричні прогресії. Уже в епоху Хаммурапі високого рівня досягла алгебра квадратних рівнянь, розв’язували й рівняння вищих степенів.

Вавілонські задачі на квадратні рівняння - перший зразок справжньої математичної теорії, розвинутої з потреб практики. У випадку двох змінних одна з них (х) називалася довжиною, друга (у) - шириною, а їх добуток - площею, або довжиною-шириною. У кубічних рівняннях третю змінну (z) називали глибиною, а добуток xyz - об’ємом. А взагалі у задачах зустрічається від двох до десяти змінних. Хоч в умовах задач дані і змінні є геометричні величини, вавілонські математики оперують з ними, як з абстрактними змінними, тобто обчислюють суми виду xy+z, xyz+xy+x, тощо, які з точки зору геометрії не мають змісту, бо не можна додавати об’єм, площу і довжину.

Вавілоняни знали тільки додатні раціональні числа і тому коефіцієнти рівнянь добиралися так, щоб корені рівняння були додатні.

Більшість задач в клинописних табличках зводились до системи.

Зустрічались і складніші системи, наприклад:

або (в десятковій системі числення)

або

або

Остання система приводить до рівняння , яке очевидно, розв’язували за допомогою таблиць чисел виду .

Порівняно з єгиптянами вавілонські математики зробили крок уперед і в розвитку геометрії. Квадрат і трикутник вавілоняни сприймали як абстрактні фігури, про прямокутник говорили - “те, що має довжину і ширину”, про трапецію - “лоб бика”, про круг - “вигин”, про сегмент - “поле півмісяця”, фігуру з двох рівних сегментів із спільною хордою - “око бика”. Термінів для понять: “точка”, “пряма”, “лінія”, “поверхня”, “площина”, “паралельність”, “перпендикулярність” ще не було. У задачах завжди йдеться про обчислення елементів плоских або просторових фігур, з якими доводилося зустрічатися архітектору, будівнику, адміністратору, господарнику. Поряд з точними використовували наближені методи обчислення. Довжину кола обчислювали, потроюючи діаметр. Цій точності відповідає п=3. З такою самою точністю обчислювали й площу круга. При цьому вавілоняни вперше пов’язали число з довжиною кола.

Одним з найвидатніших досягнень вавілонської математики було відкриття й широке застосування вже в епоху Хаммурапі теореми Піфагора. У клинописних текстах знаходимо обчислення площ правильних п’яти - і шестикутників, задачі на складні проценти й фактичне експериментування із спеціальними випадками логарифмів, зрозуміло, без будь-якого використання логарифмічної функції.

Видатними є здобутки шумеро-вавілонської математики.

Але шумеро-вавілоняни, як і стародавні єгиптяни, не зробили вирішального кроку до наукового періоду, хоча це не применшує їхніх заслуг, бо вони були першими.

3. Перші математичні тексти індійської математики належать до ІІ-І тис. до н.е. Це трактати, наприклад «Шульва-сутра»(«Правила вірьовки», в яких розгортаються різні правила вимірювань і побудови храмів, жертовних вівтарів та інших культових споруд). У IV ст. з'являються астрономо-математичні твори – «сіддханти»(вчення). Більшість з них написані віршами, мовою священних книг брахманів - санскритом. Виклад у них догматичний. Креслень, формул і доведень ще немає. Автори формулюють алгоритми певних дій над числами, правила розв'язування задач, наводять добірки вправ і зразки їх розв'язання. В індійській математиці не було зроблено й спроби побудови дедуктивної математичної теорії на зразок “Начал” Евкліда.

Лічба цілих чисел була десятковою. Рано визначилася схильність індійських математиків до оперування з великими числами, тому в санскриті є назви для чисел виду 10n для n>50.

У VI ст. поширилися цифри брахми, в яких були спеціальні знаки для чисел 1-9, що стало передумовою створення десяткової позиційної системи числення. Перші відомості про неї знаходимо в рукописі 662р. християнського єпископа Себохта. У настінному написі, який було виконано в 876р., з’являється нуль - там записано число 270.

Одна з назв нуля «шунья» (порожнє) арабські вчені переклали словом «сифр», а європейські латинською мовою просто записали словом сiffra, звідки й походить термін «цифра».

Позиційна нумерація - найвидатніше досягнення індійської математики.

Наша арифметика, без сумніву, індійського походження. Індійські вчені розробили правила арифметичних дій засновані на десятковій позиційній системі числення - чотири арифметичні дії, піднесення до квадрата й куба, добування квадратних і кубічних коренів. Обчислення виконувалися на лічильній дошці, покритій пилом або піском, і тому називалися «роботою з пилом».

Видатним досягненням індійської математики було створення розвинутої алгебраїчної символіки. Вперше з’являються позначення для багатьох невідомих, вільного члена рівняння, степенів. Більшість символів є першими складами відповідних санскритських термінів. Наприклад, невідома величина називалася «йават – товар» (стільки-скільки) і позначалася складом «йа». Якщо невідомих було кілька, їх позначали назвами кольорів.

Блискучим періодом індійської математики були V-XII ст., коли працювали видатні вчені.

Особливо великий вплив на дальший розвиток індійської астрономії і математики мала діяльність Коперніка Сходу - Аріабхати І (нар.476 р.). Його трактат "Аріабхатія" став поворотним пунктом розвитку точних наук в Індії.

Послідовником і коментатором ідей Аріабхати І був Бхаскара І (VII ст.), який у своїх трактатах розробляв теорію діофантових рівнянь і астрономічні проблеми.

На середину IX ст. припадає творчість Магавіри, автора “Короткого курсу математики”, першого індійського трактату, повністю присвяченого математиці. За об'ємом цей написаний віршами твір значно більший, ніж усі роботи попередників і сучасників Магавіри.

Велике значення для розвитку фізико-математичних наук в Індії мала творчість видатного індійського астронома й математика Бхаскари II (нар.1115-пом. пізніше 1183р.). Ще за життя вченого організувалися спеціальні школи, в яких вивчалися його твори. Математиці присвячені трактати Бхаскари II “Лілаваті” і “Біджаганіта”. І досі не визначено, кого називав учений таким ласкавим ім'ям: арифметику, якій присвячено “Лілаваті”, чи свою доньку.

Трактат “Біджаганіта” присвячений алгебрі й деяким питанням геометрії. Зокрема, там Бхаскара II дає два наочні доведення теореми Піфагора. За допомогою правил

і

вчений виконував перетворення квадратичних іраціональностей і таким чином спрощував досить складні вирази.

Індійські математики ввели і правильно трактували відc’ємні числа. Так, Брахмагупта (нар.589р.) називає додатні числа майном, а від’ємні - боргом і, використовуючи ці терміни, дає правила дій над раціональними числами.

Календарно-астрономічні задачі привели індійських математиків до діофантових рівнянь, у розв’язуванні яких були здобуті великі успіхи. Аріабхата І розв’язував у цілих числах рівняння виду ax+b=cy, Брахмагупта і Бхаскара II розв’язували в натуральних числах рівняння ах2+b2=y2 і його важливий окремий випадок ах2+1=у2.

Значно менших успіхів досягли індійські вчені в галузі геометрії. Окремих праць з геометрії не було. Геометричний матеріал міститься в астрономічних і математичних трактатах, при цьому теореми з геометрії наводяться без доведень. Усе зводиться до креслень, часто надзвичайно виразних, і слова “дивись”. Зрідка даються короткі вказівки про шлях доведення твердження.

У V ст. до н. е. індійські математики брали π= 3,1416. Послідовник Магавіри - Шрідхара (ІХ-Х ст.) наводить у своєму трактаті правильні формули для обчислення об’єму призми, зрізаного кругового конуса. Бхаскара II - формулу об’єму кулі. При розв’язуванні астрономічних задач використовувалися тригонометричні співвідношення sin2a+cos2a=1,sina=cos(90o-a), sin(a ± b) та ін.

На початок ХХст. припадає творчість геніального індійського математика Сринівази Айєнгара Рамунуджана (1887-1920). Його самобутній талант, віртуозне володіння математичними методами викликали захоплення вчених усього світу. Особиста доля вченого відобразила трагічну історію талановитого індійського народу, який століттями перебував у ярмі англійського імперіалізму і тільки в 1947 р. здобув політичну незалежність.

Індійська математика справила величезний вплив на розвиток математики Сходу і Заходу. Індійські вчені відкрили алгоритми дій над числами в десятковій позиційній системі числення. Тому Індія стала батьківщиною численних термінів в арифметиці, алгебрі, тригонометрії.

4. За багатовікову історію китайські вчені зробили багато визначних відкриттів у різних галузях науки і техніки. Вони винайшли компас, сейсмограф, спідометр, книгодрукування, технологію виготовлення паперу, фарфору, пороху. З VII ст. до н.е. китайські астрономи вміли завбачувати сонячні та місячні затемнення, встановили періодичність їх повторення, а в IV ст. до н.е. був складений перший в світі зоряний каталог.

Математичні знання китайців формувалися в глибокій давнині, але перші математичні тексти, що дійшли до нас, датовано І тисячоліттям до н. е. Більш ранні, очевидно, були знищені в 213р. до н. е., коли імператор-тиран наказав спалити всі книжки.

У стародавньому Китаї викладанню математики надавалося великого значення. Усі, хто претендував зайняти посаду чиновника державної служби, складали спеціальні екзамени, серед яких був і екзамен з математики.

Китайська ієрогліфічна нумерація, що виникла в II тисячолітті до н. е., застосовується в Китаї до цього часу. У давні часи арифметичні операції виконувалися на лічильній дошці за допомогою лічильних паличок з бамбука, слонової кістки, або металу.

Дроби з'явилися майже одночасно з натуральними числами. Дії першого ступеня виконувалися майже так, як це робимо й ми тепер, множення і ділення дробів інтерпретувалося на конкретних задачах обчислення площ земельних ділянок, розподілу, наприклад монет між кількома рівноправними особами. Щоб опанувати нові математичні об’єкти і дії над ними, китайські математики допускали й дробове число людей.

Від’ємні числа називали “фу” (борг), додатні – “чжен”(майно). Спочатку “фу” з’являлися й зникали в процесі обчислень як різниці двох чисел “чжен” і тільки пізніше почали виступати як окремі об’єкти, що стало вирішальним кроком на шляху введення від’ємних чисел.

Після введення від’ємних чисел лічильні палички виготовляли двох кольорів: червоні - для позначення додатних чисел, чорні – від’ємних. Пізніше на основі лічильної дошки виник лічильний прилад “суань-пань”, що нагадує рахівницю. Японці називають його “сарабан”.

Найдревніший математичний трактат “Математика в дев’яти книгах” зредагував фінансовий чиновник Чжан Цан (пом. 150р. до н. е.). Книга призначалася для землемірів, інженерів, чиновників, торговців. У трактаті зібрано 246 задач. Виклад догматичний. Спочатку формулюється умова задачі, потім дається відповідь і стисла вказівка щодо способу розв’язування.

Деякі задачі присвячені арифметиці дробів, обчисленню площ плоских фігур, об’ємів, системам двох лінійних рівнянь з двома змінними, системам n рівнянь з n змінними, які розв’язуються способом “фан-чен” (буквально - вистроювання чисел по клітинках). Є задачі, які розв’язуються за допомогою теореми Піфагора.

“Математика в дев’яти книгах” увійшла в збірник десяти трактатів, який був посібником для підготовки чиновників до кваліфікаційних екзаменів. У збірник входили також “Математичний трактат” Сунь-цзи, “Трактат про морський острів” визначного математика Лю Хуея (ІІІст.), “Математичний трактат” Чжан Цюцзяня (V ст.).

Трактат Сунь-цзи містив математичні таблиці, арифметичні задачі на складання систем лінійних рівнянь, геометричні, на встановлення співвідношень між різними одиницями вимірювання. У книзі Лю Хуея розглядалися задачі на визначення відстаней до недоступних предметів і розмірів цих предметів. Чжан Цюцзянь, розвиваючи ідеї своїх попередників, приділив багато уваги новим математичним проблемам: вивченню числових рядів, рівнянням вищих степенів, теоретико - числовим задачам.

Вершиною досягнень китайських математиків у розв’язуванні задач, які приводять до системи n лінійних рівнянь з n невідомими, є спосіб “фан-чен”, викладений у “Математиці в дев’яти книгах” (кн. VIII). Він близький до методу визначників, ідею якого в Європі вперше висловив німецький математик Г.В.Лейбніц (1646-1716), а розвинув швейцарський математик Габріель Крамер (31.VII. 1704 - 4.1.1752). Близько V ст. в Китаї був розроблений алгоритм наближеного обчислення коренів кубічного рівняння х3+ах2=b, а в VII ст.- і повного кубічного рівняння.

Алгебраїсти ХІІІ-ХІV ст. поширили метод чисельного розв’язування кубічних рівнянь на рівняння вищих степенів.

З коментарів до найдавнішого астрономічного твору «Трактату про мірну віху», відомо, що доведення теореми Піфагора для прямокутного трикутника із сторонами 3,4,5 було знайдене в XII ст. до. н. е., а в загальному випадку її доведення знали в VI ст. до н. е.

Математики й астрономи І-ІІІ ст. приділили багато уваги уточненню відношення довжини кола до діаметра. Астроном і філософ Чжан Хен (78-129) знайшов наближення = 3,162..., Вань Фань (пом.267) дістав , Лю Хуей – π ≈ 3,14159. Астроном, математик і інженер Цу Чунчжі (430-501) довів, що 3,1415926≤ π ≤3,1415927 йому ж належить наближення .

Наведені факти показують, що китайська математика розвивалася як зібрання обчислювальних алгоритмів і різних способів розв’язування практичних задач. При цьому широко використовувалися тотожні алгебраїчні перетворення і взаємно однозначні перетворення площин. Було відкрито цілий ряд важливих математичних залежностей, хоча китайська математика, як і індійська, мала практичний характер і мало була схожа на дедуктивну математику античної Греції.

Як і математичні знання інших народів, китайська математика розвивалася не ізольованою, а у взаємному культурному обміні, взаємозбагачена досягненнями інших народів, насамперед індійського і країн ісламу.

Рекомендована література:

[1] с.38-43; [4] с.68-86; [6] с.28-45; [7] с.32-51.[1] ст. 21 - 38; [4] с/. 8 - 26; [6] /. 18 - 28; [7] сх. 32-5.