Запишем аналитическое выра­жение для y1 в виде логической суммы (дизъюнкции) конъюнкций тех переменных, которые определяют единичное значение булевой функции:

II этап. Упростим эту функцию, исключив x₄ из двух последних конъюнкций, из первой и второй, а также из четвертой и пятой. После этого уберем повторяющиеся конъюнкции. Тогда получим:

На рис. 3 представлены два варианта реализации булевой функции y₁ с помо­щью комбинационной схемы на элементах логики и с помощью ПЗУ. Несколько хороших примеров даны в работе [49].

Двоичные булевы переменные могут быть сигналами от специальных датчи­ков. Например, при штамповке изделий из металлических листов манипу­лятор извлекает листы из загрузочного устройства и подает их под штамп в том случае, если штамп находится в крайнем верхнем положении. При этом форми­руются следующие логические сигналы: α₁ – в загрузочном устройстве листы есть;

α₂ – рука манипулятора выдвинулась до крайнего положения;

α₃ – рука в левом положении;

α₄ – поворот руки осуществился;

α₅ – захват листа произошел;

α₆ – штамп находится в верхнем положении;

α₇ – штамповка осуществилась.

Рис. 3. Схема включения насоса

Вторым способом формирования логических сигналов явля­ется сравнение каких-либо величин (например напряжений) и выработка сигнала U(t) > K (питающее напряжение U(t) больше установленного максимального зна­чения K).

В системах управления различают логические переменные α и команды на исполнение каких-либо действий, например «включить электромагнит захвата листов». Чаще всего их обозначают буквами латинского алфавита: логические сигналы в алгоритмах – символом α, а команды – символом C или А. Однако и команда также имеет два значения: она есть – «1», ее нет – «0». Т.о., в общем случае в систе­мах управления можно говорить о наборе двоичных (булевых) переменных, кото­рые будем обозначать символом x, т.е. x₁, x₂, x₃, …, x_n. При «абстрактном» подходе не различаются переменные α или С.

1.3. Логические функции одной и двух переменных

Рассмотрим элемент с одним дискретным входом X и одним дис­кретным вы­ходом Y. Какими нетривиальными функциями может обладать этот «черный ящик»? Составим комбинационную таблицу.

Таблица 6

x	y0	y1	y2	y3	Рис. 4
0 1	0 0	0 1	1 0	1 1

Из табл. 6 видно, что нулевой набор (0) и единичный набор (3) не зависят от изменения X, следовательно, это либо «обрыв» связей между X и Y, либо «корот­кое замыкание» выхода Y на источник питания (всегда на выходе 1 независимо от значений Х). Набор (1) повторяет X, и только набор (2) интересен. Для него Y = , т.е. у есть отрицание х, когда X = 0, Y = 1, и наоборот.

Таблица 7

	X	Y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
2	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
3	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
4			0	&		X		Y		V		≡				→		1

Теперь рассмотрим преобразователь двух входных переменных (табл. 7). Спрашивается, сколько различных функций возможно определить для Z, если z, x, y {0, 1}. Составим комбинационную таблицу 7, в которой номерами 0, 1, 2, …, 15 обозначены значения различных булевых функций в зависимости от комбинации X, Y.

В четвертой строке табл. 7 помечены обозначения функций. Напри-мер, z = x у есть функция сложения по модулю 2, а ее отрицание = есть функция тождественности z = x ≡ y. Набор (1) есть функция «И». Обозначается эта функция по-разному: z = х&у = х y = ху. Набор 14 – отрицание этой формулы, т.е. = . Точно так же набор (13) есть функ­ция следования z = x→y, a (2) – ее отрицание. Набор (7) есть функция «ИЛИ», т.е. z = х + у = x у, а набор (8) – ее отрицание. Заметим, что в отечественной математической литературе знак конъюнкции виде символа & не используется. Знак «+» вместо символа дизъюнкции «V» читается как логическое сложение, т.е. операция «ИЛИ».

На рис. 4 приведены условия обозначения элементов НЕ (а), ИЛИ (б) и И (в).

В таблице 7 в строке 4 в столбцах 2, 8, 14 применены специальные обозначения вместо слов: отрицание операции следования ( ), отрицание операции «ИЛИ» ( ), отрицания операции «И» ( ). В вычислительной технике используются лишь сами символы (→, V, &), поэтому данную символику для таб­лицы 5 следует рассматривать лишь как сокращение словесных обозна­чений.

Для одного входа n = 1, количество функций N = 4, для двух входов (n = 2) имеем N = 16. Отсюда по индукции для любого п количество раз­личных функций N = . Уже для п = 3, N = 256. Это при одном выходе, а при нескольких (m) выходах изучение всех возможных функций на основе простого перебора практически не­реально. Поэтому функции комбинаци­онных схем уже при п = 3 (и даже для п = 2, m = 2) начинают изучать, фикси­руя конкретную функцию преобразователя инфор­мации для автомата, на­пример суммирование, умножение, преобразование кодов и др.