4.3.6.* Циклические координаты

Обобщенная координата называется циклической, если она явно не входит в выражение функции Лагранжа, т. е. если . Тогда , откуда следует

,

т. е. имеем один из интегралов системы дифференциальных уравнений движения.

4.4. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия

4.4.1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия

Пусть консервативная механическая система имеет положение равновесия, т.е. положение, в котором она остается бесконечно долго, если она имела в этом положении нулевые обобщенные скорости. Пусть значения обобщенных координат в положении равновесия равны нулю. Пусть также значение потенциальной энергии в этом положении равно нулю:

.

Положение равновесия называется устойчивым, если такое, что из условий следует

при , .

Теорема: если в некотором положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Доказательство теоремы предполагает «конструирование» величины по заданной величине . Идея доказательства для случая одной переменной изображена на рис. 17.

Если помимо потенциальных и гироскопических сил действуют еще и диссипативные силы, имеющие строго отрицательную мощность, то изолированное положение равновесия является асимптотически устойчивым: при .

Предложение. Определение устойчивого положения равновесия сформулировано для безразмерных обобщенных координат и безразмерного времени. Рассмотрите случай размерных величин. Введите масштабные коэффициенты и попробуйте сформулировать вновь это определение.

Рис. 17. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы

4.4.2. Малые колебания консервативной системы вблизи положения устойчивого равновесия

Пусть в положении устойчивого равновесия , т.е. и пусть .

Рассмотрим движение консервативной системы вблизи положения равновесия. Разложим функцию в окрестности точки равновесия в ряд Маклорена:

По условию ; кроме того, согласно принципу виртуальных перемещений в положении равновесия обобщенные силы

.

Отбрасывая члены третьего и высших порядков малости относительно и обозначая , получим

.

Пусть связи стационарны. Разложим в выражении коэффициенты также в ряды:

С точностью до малых второго порядка включительно имеем:

.

Таким образом, кинетическая энергия и потенциальная энергия представлены как соответствующие положительно определенные квадратичные формы обобщенных скоростей и координат. Уравнения Лагранжа-2 приобретают вид следующей линейной системы:

.

Будем искать решение этой системы в следующем виде:

.

Подставив в систему дифференциальных уравнений эти формулы и приравняв коэффициенты при , получим систему однородных линейных уравнений относительно амплитуд :

, .

Нетривиальное решение последняя система имеет при условии равенства нулю ее определителя, т.е.

.

Данное уравнение называется частотным уравнением, или вековым (secular). Оно является уравнением - той степени относительно . Благодаря симметричности и положительной определенности матрицы квазиинерционных коэффициентов и симметричности матрицы квазиупругих коэффициентов все корни векового уравнения являются неотрицательными. Каждому корню соответствует своя система однородных линейных уравнений относительно амплитуд . Так как определитель системы равен нулю, существует бесконечно много ее решений. Если положить, например,

, то остальные амплитуды выражаются из системы уже однозначно и представляют собой отношения соответствующих амплитуд к первой амплитуде. Совокупность этих отношений называется формой колебаний, соответствующей частоте . Отношения амплитуд называют также коэффициентами форм.

Квадратичные формы и можно одним и тем же неособенным преобразованием переменных («неособенное» означает ) привести обе к диагональному виду, и тогда дифференциальные уравнения движения будут иметь вид

, .

Новые обобщенные координаты называются нормальными координатами колебательной системы.

Заключение

В конспекте освещены лишь самые простые вопросы механики, которые составляют, так сказать, азбуку инженера. Классическая механика – хорошо разработанная область знаний, и она обычно излагается дедуктивно. За каждым теоретическим предложением - долгая история проблемы, практика инженерных расчетов и эксплуатации созданных по этим расчетам машин и разных устройств.

Изучение теоретической механики – одна из начальных ступеней непрерывного образования, которым каждый уважающий себя специалист занимается всю жизнь

Список литературы

1. Яблонский А. А. Курс теоретической механики: учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим специальностям. - 15-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010 . - 603 с.

2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики : учебник для студентов высших технических учебных заведений. - Изд. 20-е, стер. – М.: Высшая школа, 2010. - 415 с.

3. Курс теоретической механики: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по техническим специальностям в 2 т. / Бутенин Н.В. и др. - Изд. 10-е, стер. – Санкт-Петербург: Лань, 2008. - 729 с.: ил. Т. 1: Статика и кинематика; Т. 2: Динамика.

4. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике : учебное пособие для вузов. - Изд. 3-е, стер. - М.: Физматлит, 2005. - 262 с.

5. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 010500 "Механика": [в 2 т.] / Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. - Изд. 9-е, испр. и доп. – М.: Дрофа, 2006. -   Т. 1: Статика и кинематика. - 2006. - 447 с. Т. 2: Динамика. - 2006. - 719 с.

6. Поляхов Н.Н. Теоретическая механика: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям "Математика" и "Механика" [Федер. целевая программа книгопечатания России] / Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П.; под ред. проф. Товстика П.Е. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2000. - 591 c.

7. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб. для студентов машиностроит. и приборостроит. специальностей вузов. - 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2003. - 718 с.

8. Бать М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах, ч.1, 2, 3. / Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А.С. - М.: Физматгиз, 1995.

* * *

Quantus tremor est futurus.

Judex ergo cum sedebit.

Quando judex est venturus,

Quidquid latet, apparebit.

Cuncta stricte discussurus.

Nil inultum remanebit!

(“Dies irae”)

60