3.1.19. Примеры колебательного движения
а) Пусть в начальный
момент времени заряд
емкости
(рис. 7,а) равен
,
ключ разомкнут, и электрический ток
в контуре отсутствует:
.
Ток возникает при замыкании ключа. Для
составления уравнения функционирования
контура воспользуемся вторым законом
Кирхгофа: сумма падений напряжения в
замкнутом контуре равна нулю:
.
а б в г
Рис. 7. Устройства, демонстрирующие колебательное движение
Как известно из
курса общей физики,
,
,
(
-
параметр емкости,
- соленоида,
- активного сопротивления). Из закона
Кирхгофа следует уравнение
,
где
.
При малом активном сопротивлении
величина заряда, ток и напряжение
изменяются согласно закону затухающих
колебаний.
б) Вертикальные
колебания цилиндрического поплавка
(рис. 7,б) длиной
при отсутствии сопротивления жидкости
описываются уравнением
,
где
- смещение поплавка из положения
равновесия,
- плотность его материала,
-
плотность жидкости.
в) Колебания
столбика жидкости длиной
в
-
образной трубке (рис. 7,в) описываются
следующим уравнением (величина
есть
перепад уровней жидкости):
.
Аналогичным уравнением приближенно описываются колебания уровня жидкости в замкнутом прямоугольном резервуаре («сейша»).
г) Уравнение движения математического маятника (рис. 7,г):
.
Это уравнение
является нелинейным,
поскольку дифференциальный оператор
- нелинейный оператор (нелинейной
является операция расчета синуса,
поскольку
).
Линейный
же оператор при любых константах
должен удовлетворять условию:
.
Если угол
- малая величина, то можно приближенно
принять, что
,
и тогда дифференциальное уравнение
движения маятника станет линейным:
,
где
.
Гармонический осциллятор иногда называют
линейным осциллятором.
3.2. Геометрия масс. Теоремы динамики
3.2.1. Центр масс (центр инерции) механической системы
Пусть механическая
система состоит из
точечных фрагментов. Рассмотрим некоторую
точку С
пространства и пусть
- радиус-вектор
-го
фрагмента относительно полюса С
(рис. 8). Выражение
называется статическим
моментом масс
относительно полюса С.
Центр масс системы - такая точка С
пространства, относительно которой
статический момент равен нулю:
.
Пусть
- радиус-вектор
-го
фрагмента относительно полюса О
абсолютной (инерциальной) системы
отсчета,
- абсолютный радиус-вектор центра масс;
.
Тогда, обозначив как
массу системы, получим, что
.
Рис. 8. Определение положения центра масс
Если тело имеет центр тяжести (центр системы параллельных сил), то он находится в центре масс.
3.2.2. Выражение количества движения системы через скорость центра масс. Уравнение движения центра масс.
Используя определение
центра масс, находим, что количество
движения системы выражается через
скорость
центра масс:
.
Теорему об изменении
количества движения (Ч. 1, п. 2.1.9) при
условии
можно представить как уравнение движения
центра масс:
.