24.1.2 Задача о рюкзаке.

Одной из наиболее распространенных задач целочисленного программирования является задача о рюкзаке (или о ранце).

Постановка задачи. Турист готовится к длительному переходу в горах. Он складывает вещи в рюкзак, который может включать n видов нужных предметов, причем предмет типа j имеет массу w_j , . Для каждого вида предмета турист определяет його ценность Е_j во время перехода. Максимальный вес груза в рюкзаке не может превышать W кг. Сколько предметов каждого типа он должен положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность снаряжения была максимальной при ограничении на массу рюкзака?

Обозначим через x_j — количество предметов j-го типа в рюкзаке. Тогда математическая модель задачи такова:

максимизировать                            (24.1.4)

при ограничениях

 ,                                  (24.1.5)

 ,          — целое, .

24.1.3 Экстремальные комбинаторные задачи

В данных задачах необходимо найти экстремум некоторой целевой функции, заданной на конечном множестве, элементами которого служат перестановки из n символов.

Одной из наиболее простых задач этого класса является известная задача о назначениях.

Найти такую перестановку  из чисел 1, 2, …, n, при которой достигается минимум  по всем перестановкам .

Каждая такая перестановка может быть представлена точкой в n^2-мерном пространстве или в виде матрицы .

Введем переменные

Очевидно,

                                   (24.1.6)

Задача о назначениях заключается в нахождении таких чисел {x_ij}, при которых достигается  при ограничениях (24.1.6).

Хотя условия целочисленности в (24.1.6) в явном виде нет, оно выполняется, поскольку задача о назначениях является частным случаем Т-задачи.

24.1.4 Задача о коммивояжере.

Рассмотрим известную задачу о коммивояжере. Пусть имеется n городов: A₁, A₂, …, A_n... Задана матрица    расстояний между всеми городами. Выезжая из исходного города A₁ коммивояжер должен во всех остальных городах побывать по одному разу и вернуться в исходный город A₁. Требуется определить такой маршрут его движения, чтобы суммарное пройденное расстояние было минимально.

Математическая модель этой задачи имеет следующий вид:

минимизировать                      (24.1.7)

при условиях

                                 (24.1.8)

                                 (24.1.9)

                (24.1.10)

где u_i, u_j — произвольные целые и неотрицательные числа.

Условие (24.1.8 ) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города один раз, а условие (24.1.9 ) — что он въезжает один раз в каждый город. Если ограничить задачу только условиями (24.1.8) и (24.1.9 ), то она эквивалентна задаче о назначениях, план которой не обязан быть цикличным. Иначе говоря, маршрут коммивояжера можно представить как ряд связных переходов или циклов, в то время как  его маршрут   в действительности состоит  из  одного  цикла. Чтобы  обеспечить  это  требование  и используется условие (24.1.10). Покажем,  что  действительно  для любого цикла, начинающего в пункте A₁ , можно найти u_i , удовлетворяющие условию (24.1.10). Пусть u_i = p, если коммивояжер посещает город A_і на p-м этапе. Отсюда следует, что  для всех i и j, и, таким образом, условие (24.1.10) выполняется, если x_ij = 0. При x_ij = 1 условие (24.1.10) выполняется как строгое равенство:

u_i – u_j + n x_ij = p – (p+1) + n = n –1.