23. Стохастичесоке программирование
23.1 Задачи стохастического программирования. Прямые и непрямые методы.
В стохастическом программировании рассматриваются проблемы принятия решений в условиях действия случайных факторов, которые необходимо учитывать в соответствующих математических моделях.
Рассмотрим типичную задачу нелинейного программирования:
найти такой вектор Х, для которого
(23.1)
при ограничениях
,
(23.2)
. (23.3)
Задачи стохастического
программирования возникают в случаях,
когда функции
,
зависят также от случайных параметров
.
При этом предполагается, что
является элементом пространства
состояний природы (или пространства
случайных параметров)
.
Тогда задачу стохастического
программирования можно сформулировать
так:
минимизировать
(23.4)
при условиях
,
(23.5)
.
Постановка задач стохастического программирования существенно зависит от того, есть ли возможность при выборе решений уточнить состояние природы путем некоторых наблюдений или нет. В связи с этим различают задачи оперативного и перспективного стохастического программирования.
В задачах оперативного
стохастического программирования
решение принимается после некоторого
эксперимента над состоянием природы
,
оно зависит от результатов эксперимента
и является случайным вектором
.
Такие задачи возникают, например, в
оперативном планировании, медицинской
диагностике. В задачах перспективного
стохастического программирования
решение x
принимается до проведения каких-либо
наблюдений над состоянием природы и
поэтому является детерминированным.
Такие задачи возникают в перспективном
технико-экономическом планировании, в
задачах проектирования, когда параметры
системы должны быть выбраны конкретными
детерминированными величинами, в расчете
на определенный диапазон возможных
возмущений.
Задачи стохастического программирования обычно задаются в одной из следующих форм:
минимизировать
(23.6)
при условиях
, (23.7)
где
- операция математического ожидания;
минимизировать
(23.8)
при ограничениях
, (23.9)
где
- некоторые числа;
- вероятность.
Возможные и некоторые комбинации задач (23.6), (23.7) и (23.8), (23.9).
Например, найти минимум (23.6) при условиях (23.9) или минимум (23.8) при условиях (23.7). Несмотря на кажущееся различие в постановках задач (23.6), (23.7) и (23.8), (23.9), они могут быть сведены к некоторой общей формулировке, например вида (23.6), (23.7). Для этого необходимо ввести характеристические функции:
(23.10)
(23.11)
для которых
Задача (8.8), (8.9) тогда приводится к виду
минимизировать
(23.12)
при условии
Существует два основных подхода к решению задач стохастического программирования:
1) непрямые методы,
которые заключаются в нахождении функций
,
и решении эквивалентной задачи НП вида
(8.6), (8.7);
2) прямые методы
стохастического программирования,
основанные на информации о значении
функций
,
,
получаемой в результате проведения
экспериментов.