22.4 Методы сведения задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации. Методы возможных направлений
Этот класс методов решения задач НП основан на движении из одной допустимой точки к другой с лучшим значением целевой функции.
Типичная стратегия
поиска в алгоритмах этого класса состоит
в следующем. Возьмем текущую допустимую
точку
и
найдем направление
такое,
что при достаточно малых
выполняются
следующие два условия: 1) точка
является
допустимой; 2)
После нахождения
допустимого направления
решается
задача одномерной минимизации по
параметру
для
нахождения оптимальной длины шага в
направлении
.
Далее перемещаемся в точку
и
процесс поиска повторяется.
22.4.1 Метод Зойтендейка
Типичным представителем класса методов возможных направлений является метод Зойтендейка. На каждой итерации метода находят возможное направление спуска, а затем проводят оптимизацию вдоль этого направления. Для изложения идеи метода введем ряд необходимых понятий [2; 8].
Определение.
Рассмотрим задачу минимизаци
при
условии, что
,
где
–
непустое множество.
Ненулевой вектор
называется
возможным направлением в точке
,
если существует
такое
,
что
для
всех
.
Вектор
называется
возможным направлением спуска в точке
,
если существует
такое
,
что
и
для
всех
.
Вначале рассмотрим случай, когда ограничения линейные и задача НП имеет вид:
минимизировать (6.5.1)
при условиях
(6.5.2)
(6.5.3)
где
–
матрица порядка
;
–
матрица порядка
;
—
-мерный
вектор;
—
-мерный
вектор.
Справедливо следующее утверждение.
Лемма.
Рассмотрим
задачу минимизаци
(6.5.1)-(6.5.3). Пусть
–
допустимая
точка и предположим, что
,
где
,
а
.
Ненулевой вектор
является
возможным направлением в точке
в
том и только в том случае, если
и
.
Если, кроме
того,
,
то
является
возможным направлением спуска.
22.4.2 Метод возможных направлений для нелинейных ограничений-неравенств и равенств
Метод возможных
направлений может быть модифицирован
на случай, когда кроме ограничений
неравенств имеются нелинейные
ограничения-равенства. Для иллюстрации
обратимся к рис. 22.2, который отвечает
единственному ограничению-равенству.
Для заданной допустимой точки
в
этом случае не существует ненулевого
направления
такого,
что
при
,
для некоторого
.
Это затруднение можно преодолеть, если
двигаться вдоль касательного направления
,
для которого
,
а затем скорректировать это движение
и вернуться в допустимую область (рис.
22.2.).
Поясним этот подход на примере:
минимизировать
при
условиях
,
.
Пусть
–
допустимая точка и
.
Будем решать следующую задачу ЛП:
минимизировать
при условиях
,
.
Искомое направление
является
касательным к ограничениям-равенствам
и к некоторым активным нелинейным
ограничениям-неравенствам. Линейный
поиск вдоль
и
последующее возвращение в допустимую
область приводят в точку
,
после чего процесс поиска повторяется.
Один из существенных недостатков
рассмотренного варианта метода состоит
в том, что если точка
,
которая задает текущее решение, окажется
близка к границе, определяемой одним
из ограничений, а оно не используется
в процессе нахождения направления
движения, то может оказаться, что сделав
лишь небольшой шаг, мы окажемся на
границе, определяемой этим ограничением.
Поэтому оказывается целесообразным
расширить множество активных ограничений
,
определив его так:
,
где
–
достаточно малое число.