21.12.5 О решении разностных схем.

Разностная схема представляет собой линейную систему уравнений с матрицей

At =

1 0 0 0 ··· 0 1 2-t2A(t1) 1 0 ··· 0 0 1 2-t2A(t2) 1 ··· 0 0 0 1 2-t2A(t3) ··· 0 : : : : ··· : 0 0 0 0 ··· 0

Поскольку мы предполагаем, что A(t) < 0, неравенство 2 - t²A(t_i) > 2 выполнено при всех i, и поэтому матрица A_t, очевидно, обладает свойством строгого диагонального преобладания. Так как она, кроме того, трехдиагональна, разностную схему можно устойчиво решать методом прогонки.

В случае разностных схем более высокого порядка аппроксимации заполненность матрицы схемы в общем случае растет. Тем не менее, если схема устойчива, то ее, как правило, можно устойчиво решать распространенными методами.

21.12.6 Нелинейные задачи.

Поясним основные проблемы, связанные с нелинейностью на примере краевой задачи

xўў = f(t, x),   t О [0, T],

x(0) = a, x(T) = b.

Если заменить в неизвестную функцию и ее производную разностными аппроксимациями, то мы получим разностную схему (S) с нелинейным разностным оператором

[Ft(x)]i =

xi+1 - 2xi + xi-1 t2  - f(ti, xi), если i = 1, ..., n - 1, xi - a, если i = 0, xi - b, если i = n.

Нелинейную систему F_tx = 0 из (n+1)×m (скалярных) уравнений с (n+1)×m (скалярными) неизвестными обычно решают итерационными методами, например, известным методом Ньютона, в котором последовательность приближений {x^k} схемы (S) определяется рекуррентной формулой

x^k+1 = x^k - [F_tў(x^k)]^-1F_t(x^k),

где через F_tў(x^k) обозначена производная отображения x ® F_t(x) в точке x^k.

Задача. Покажите, что удовлетворяющая сеточная функция x^k+1 удовлетворяет линейной разностной схеме

xk+1i+1-  2xk+1i+ xk+1i-1 t2

- fxў(ti, xki)xik+1= xi при i = 1, ..., n-1,

x^k+1₀ = a,   x^k+1_n = b,

где x_i = f(t_i, x^k_i)- f_xў(t_i, x^k_i)x^k_i.

Разностная же схема - это схема, методы решения которой мы уже обсуждали. Итерации, решая на каждом шаге схему, продолжают до достижения удовлетворяющей точности.

Здесь мы описали один подход к нелинейным задачам: сначала перешли к дискретной модели (разностной схеме), а затем линеаризовали получившееся уравнение. Можно поступить наоборот: сначала линеаризовать уравнение (дифференциальную краевую задачу), а затем дискретизировать получившуюся линейную краевую задачу (перейти к разностной схеме). Чуть подробнее. Запишем задачу в операторном виде F(x) = 0,

где F(x) = (xўў- f(·, x), x(0) - a, x(T) - b). Решение нелинейного уравнения (в бесконечномерном пространстве функций) будем искать приближенным итерационным методом Ньютона: начиная с некоторой функции x⁰, последовательность приближений определим формулой

x^k+1 = x^k - [Fў(x^k)]^-1F(x^k)