21.12.3 Устойчивость схемы.

Пусть z О S_t, F_tj_t = 0, F_ty_t = z. Нам надо доказать, что ||j_t - y_t||_t Ј C_s||z||_t при некотором C_s и всех достаточно малых t. Легко видеть, что сеточная функция x = j_t - y_t удовлетворяет уравнению

L_t(x) = z,

где [L_t(x)]_i = [F_t(x)]_i + c(t_i) при i = 1, ..., n - 1 и [L_t(x)]_i = x_i при i = 0 и i = n.

Задача 2.3.3. Проведите необходимые выкладки.

Разностный оператор L_t представляет собой разностный оператор F_t для однородной краевой задачи (1) – (2), т. е. задачи (1) – (2) при c(t) є 0, a = b = 0.

Докажем сначала вспомогательную лемму, являющуюся разностным аналогом известного принципа максимума (в данном контексте — минимума).

Лемма. Пусть сеточная функция g удовлетворяет условиям [L_t(g)]_i Ј 0 при i = 1, ..., n - 1, g₀ і 0, g_n і 0. Тогда g_i і 0 при всех i = 0, ..., n.

Доказательство.  Пусть d = min_0ЈiЈng_i, а j — наименьший номер, при котором g_j = d. Предположим, что утверждение леммы не верно, т. е. d < 0. Поскольку g₀ і 0 и g_n і 0, выполнены неравенства 0 < j < n. По определению j

g_j-1 > g_j,   g_j+1 і g_j.

Но тогда, так как A(t_j) < 0 и g_j = d < 0,

[Lt(g)]j =		(gj+1 - gj) - (gj - gj-1) t2				+ A(tj)gj =
=	gj+1 - d t2		–	d - gi-1 t2	+ A(tj) d > 0,

что противоречит условиям леммы.

Продолжение доказательства устойчивости системы.

Определим функцию h О S_t равенством

hi = |z0|

T - it T

+ |zn|

it T

+

(T - it)it 2

||z||t.

Задача. Покажите, что

[L_t(h)]_i Ј -|| z||_t

при i = 1, ..., n-1, [L_t(h)]₀ = |z₀|, [L_t(h)]_n = |z_n|.

В силу линейности оператора L_t [L_t(h ± x)]_i = [L_t(h)]_i ± [L_t(x)]_i Ј -||z||_t ± [L_t(x)]_i = -||z||_t ± z_i Ј 0 при i = 1, ..., n - 1. Кроме того, очевидно,

(h ± x)₀ = |z₀| ± z₀ і 0 и (h ± x)_n = |z_n| ± z_n і 0.

Поэтому, как функция h + x, так и функция h- x, удовлетворяют условиям леммы. По этой лемме h_i ± x_i і 0, откуда |x_i| Ј | h_i| при всех i = 1, ..., n и, следовательно, ||x||_t Ј ||h||_t. Остается заметить, что (здесь, в частности, мы используем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом).

Окончательно получаем неравенство

||jt - yt||t = ||x||t Ј

ж и

2 +

T2 8

ц ш

||z||t = Сs||z||t,

означающее устойчивость разностной схемы (S) с разностным оператором.

21.12.4 Повышение порядка аппроксимации.

Схема, как следует из вышеизложенного, является схемой второго порядка сходимости. Ее порядок аппроксимации определяется порядком аппроксимации второй производной в уравнении, поскольку остальные члены уравнения в узлах сетки аппроксимируются точно. Если использовать разностную аппроксимацию производной более высокого порядка, например, четвертого, то естественно ожидать, что получится схема более высокого порядка аппроксимации. Например, можно заменить уравнение следующей разностной схемой (как легко видеть, четвертого порядка аппроксимации):

-xi+2 + 16xi+1 - 30xi + 16xi-1 - xi-2 h2

+ A(ti)xi - c(ti) = 0.

При этом не следует забывать о двух важных обстоятельствах. Во-первых, граничные условия следует аппроксимировать с соответствующим порядком точности. Во-вторых, для использования аппроксимации в точках t₁ и t_n-1 требуется знание (недоступных) значений сеточной функции в точках t_-1 и t_n+1. Поэтому схема в граничных и приграничных точках t₀, t₁, t_n-1, t_n должна быть другой (и одновременно аппроксимировать уравнение и краевые условия с соответствующим порядком).