21.12 Конечно-разностная аппроксимация производных. Конечно-разностные методы.

21.12.1 Постановка задачи.

Пусть для любого t > 0 задано множество G_t точек t₀ < t₁ < ... < t_n = t₀ + T отрезка [t₀, t₀ + T] такое, что t = max_{0ЈiЈ n}{t_i+1 - t_i}. Множество G_t называется сеткой, его элементы — узлами, а числа t_i = t_i+1 - t_i — шагами сетки. Если t_i є t = T/n, то говорят о сетке с постоянным шагом, или сетке с шагом t, или равномерной сетке.

Конечно-разностным или разностным методом приближенного решения задачи (E) – (C) называют любые методы (приемы, способы), позволяющие для каждого t > 0 указать j_t: G_t ® R^m (такие функции называют сеточными), которая в том или ином смысле аппроксимирует решение j задачи (E) – (C). Разумеется, возникает вопрос: в каком смысле понимать фразу "сеточная функция аппроксимирует решение"? Поскольку j_t и j принадлежат разным пространствам, то естественно изометрично вложить пространство сеточных решений и пространство решений в одно пространство, и уже в этом пространстве измерять расстояние между ними. Например, вложить пространство сеточных функций в пространство непрерывных функций, заменив сеточную функцию j_t ломаной j_t, и считать, что j_t хорошо аппроксимирует j, если ||j_t - j||_C = max{||j_t(t) - j(t)||_Rm: t О [t₀, t₀ + T]} мала.

Чаще поступают следующим образом. "Проектируют" решение j на пространство сеточных функций S_t, ставя в соответствие функции j ее сужение P_tj на сетку G_t. На пространстве сеточных функций S_t задают норму, обычно, либо равномерную: ||y|| = max_tОGt{|| y(t)||}, либо вадратичную: ||y|| = (е_tОGt || y(t)||²)^1/2. Теперь можно считать, что j_t хорошо аппроксимирует j, если ||j_t -P_tj||_St мала.

Всюду ниже мы будем считать, что на пространстве S_t задана равномерная норма и будем обозначать эту норму через || · ||_t.

Если x — сеточная функция на G_t, то ее значение в точке t_i мы всегда будем обозначать через x_i, а не стандартно x(t_i).

P_tj для любой функции j на отрезке [t₀, t₀ + T] всегда обозначает сужение j функции на сетку G_t: [P_tj]_i = [P_tj](t_i) = j(t_i).

21.12.2 Общая схема.

Основная идея конечно-разностных методов решения краевых задач полностью аналогична идее конечно-разностных методов решения задачи Коши. Краевая задача, скажем, для определенности, задача (E2) – (BC), или, в операторной форме, уравнение (O), заменяется разностной схемой F_t(x) = 0 в пространстве S_t сеточных функций на сетке G_t. Дословно повторяются понятия порядка аппроксимации, устойчивости, сходимости. Точно так же, как и в случае задачи Коши, имеет место теорема Лакса. Поэтому для доказательства сходимости решений схемы (S) к решению уравнения (O) достаточно показать, что схема является аппроксимирующей и устойчивой. И если с изучением свойств аппроксимации обычно проблем не возникает, то в случае краевых задач исследование устойчивости доставляет по сравнению со случаем задачи Коши ряд дополнительных трудностей.

Мы начнем с простейшей линейной краевой задачи и простейшей разностной схемы.

Рассмотрим скалярную линейную краевую задачу

xўў+ A(t)x = c(t),   t О [0, T],

x(0) = a,   x(T) = b.

Предположим, функция A непрерывна и A(t) < 0 при всех t О [0, T].

Задача. Докажите, что при этих условиях задача (1) – (2) имеет единственное решение для любой непрерывной функции c и любых a и b.

Пусть G_t - равномерная сетка на [0, T], причем tn = T. Определим на S_t разностный оператор

[Ft(x)]i =

xi+1 - 2xi + xi-1 t2  + A(ti)xi - c(ti), если i = 1, ..., n - 1, xi - a, если i = 0, xi - b, если i = n.

Здесь мы при i = 1, ..., n - 1 аппроксимировали вторую производную в точке t центральными разностями.