20.5. Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории матричных игр.

 

Смешанные стратегии представляют собой математическую модель изменчивой и гибкой тактики игрока, при которой противостоящий ему игрок не может узнать заранее то положение, с которым ему придется встретиться в игре, ибо перед каждой партией производится случайный выбор одной из чистых стратегий с помощью некоторого механизма, производящего этот выбор с определенными и заранее заданными вероятностями. Покажем, как определить эти вероятности, исходя из требования получения максимина, т.е. оптимального решения игры.

Рассмотрим, как и прежде, игру m×n, когда у игрока А имеется m стратегий, а у игрока В – n стратегий. Введем обозначение для смешанных стратегий игроков А и В:

S_A=S_A(p₁, p₂, …, p_m);

S_B=S_B(q₁, q₂, …, q_n),

где p₁, p₂, …, p_m – вероятности использования чистых стратегий А₁, А₂, …, A_m;

q₁, q₂, …, q_n – вероятности чистых стратегий B₁, B₂, …, B_n.

Поскольку эти стратегии по условию игры полностью исчерпывают возможные ходы игроков А и В, то они образуют полную группу событий. Поэтому для вероятностей p_i справедливо условие Аналогичное условие имеет место для вероятностей q_j: Очевидно, каждая чистая стратегия является частным случаем

 

смешанной стратегии, когда все стратегии, кроме выбранной чистой стратегии, имеют вероятности, равные нулю, а эта выбранная стратегия – вероятность, равную единице.

Оказывается, если допустить возможность использования смешанных стратегий, то для каждой игры можно найти оптимальное решение, т.е. пару устойчивых оптимальных стратегий игроков.

В теории игр доказывается основная теорема матричных игр: любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Из этой теоремы следует, что каждая матричная игра имеет цену ν, причем эта цена всегда лежит между нижней и верхней β ценой игры:

Действительно, есть минимальный гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок А, применяя только свои чистые стратегии. Применяя смешанные стратегии, игрок А во всяком случае не уменьшит свой выигрыш, т.е. . Для игрока В аналогичные рассуждения приведут к выводу, что . Поэтому в общем случае:

Если в некоторой игре m×n найдено оптимальное решение, состоящее в использовании двух оптимальных смешанных стратегий

 

то чистые стратегии А₁, А₂, …, A_m и B₁, B₂, …, B_n, для которых вероятности p_i и q_j оказались отличными от нуля, называются активными стратегиями игроков А и В.

В теории игр доказывается теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш не меньше цены игры, независимо от того, что делает другой игрок.

Смысл этой теоремы состоит в том, что если один из игроков начнет последовательно придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии, то противостоящий ему игрок уже не сможет изменить исход игры.

20.6.Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Предположим, что цена игры положительна ( > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.

Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m ^х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х₁, ..., х_m), y = (y₁, ..., y_n) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры  должны удовлетворять соотношениям.

Разделим все уравнения и неравенства в (1) и (2) на  (это можно сделать, т.к. по предположению  > 0) и введём обозначения :

, ,

Тогда (1) и (2) перепишется в виде :

, , , ,

, , , .

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения х_i и, следовательно, p_i , чтобы цена игры  была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений p_i , при которых

, .

Поскольку второй игрок стремится найти такие значения y_j и, следовательно, q_j, чтобы цена игры  была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений q_j, , при которых

, .

Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП).

Решив эти задачи, получим значения p_i , q_j и .Тогда смешанные стратегии, т.е. x_i и y_j получаются по формулам :

Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей.

Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач :

Решим вторую из них

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение		Отношение
	1	1	1	0	0	0	0	3
q4	1	2	0	1	0	0	1	5	—
q5	1	0	1	0	1	0	1	4
q6	2	1	0	0	0	1	1	5	—

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение		Отношение
	0	1	0	0	1	0	1	1
q4	1	2	0	1	0	0	1	5
q3	1	0	1	0	1	0	1	4	—
q6	2	1	0	0	0	1	1	5

Б.п.	q1	q2	q3	q4	q5	q6	Решение		Отношение
		0	0		1	0
q2		1	0		0	0
q3	1	0	1	0	1	0	1	4
q6		0	0		0	1

Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что

(q₁, q₂, q₃) = (0; ; 1),

а из соотношений двойственности следует, что

( p₁, p₂, p₃) = ( ; 1; 0).

Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А₁ равна

. ,

а игры с платёжной матрицей А :

.

При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид:

Х = (х₁, х₂, х₃) = (р₁; р₂; р₃) = =

Y = (y₁, y₂, y₃) = (q₁; q₂; q₃) = = .