20.3. Дифференциальная игра.

Дифференциальная игра - это динамическая система, управляемая двумя противниками, интересы которых противоположны. Примеры задач, приводящих к дифференциальным играм: посадка самолета в условиях ветрового возмущения; преследование одной управляемой ракеты другой.

Основной элемент решения - функция цены - вычисляется как набор большого числа (100-500) множеств уровня - "трубок" (1 трубка - 500 000 точек).

20.4. Платежная матрица. Цена игры. Принципы максимина и минимакса.

 

Пусть в игре участвуют два игрока А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой (матричной игрой), если выигрыш игрока А в точности равен проигрышу игрока В (или наоборот). Игроки А и В производят ряд последовательных ходов, т.е. производят ряд последовательных действий, предусмотренных правилами игры.

Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в зависимости от ситуации, которая сложилась в ходе игры.

Теория игр дает указания игрокам при выборе ходов, т.е. рекомендует им лучшие стратегии.

Задание пары стратегий игроков А и В в игре двух лиц полностью определяет ее исход, т.е. выигрыш одного игрока и проигрыш другого. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется лишь конечное число стратегий. Если таких стратегий бесконечно много (пусть даже только у одного игрока), то игра называется бесконечной.

Рассмотрим конечную игру, в которой игрок А имеет m стратегий (А₁, А₂, …, А_m), а игрок В – n стратегий (В₁, В₂, …, В_n). Такая игра называется игрой m×n. Если игроки А и В используют только личные ходы, то выбор стратегий А и В однозначно определяет исход игры a_ij, т.е. число, характеризующее выигрыш игрока А и проигрыш игрока В. Причем a_ij может быть и положительным, и отрицательным. Будем считать, что при a_ij>0 игрок А выигрывает, а игрок В проигрывает величину a_ij. Если a_ij<0, то, наоборот, выигрывает игрок В и проигрывает игрок А. В этом случае вместо проигрыша часто говорят об отрицательном выигрыше игрока А.

Если в игре используются случайные ходы, то выигрыш при двух стратегиях A_i и B_j является случайным. В этом случае за оценку ожидаемого выигрыша берется его математическое ожидание.

Предположим, что нам известны все значения a_ij в игре (m×n). Эти значения удобно записать в виде таблицы платежной матрицы (табл. 20.1), где строки соответствуют стратегиям A_i, а столбцы – стратегиям B_j.

A B	В1	В2	…	Bj	…	Bn	βj
A1	a11	a12	…	a1j	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2j	…	a2n
…	…	…	…	…	…	…
Ai	ai1	ai2	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amj	…	amn
							β

Таблица 20.1.Платежная матрица.

Подход к игре, когда для выигрыша приходится использовать случайный выбор стратегий, называется подходом с использованием смешанных стратегий. Итак, смешанные стратегии получаются путем случайного чередования отдельных чистых стратегий при образовании смешанных стратегий.

Рассмотрим платежную матрицу общего вида (табл. 10.1) с тем, чтобы обобщить правила нахождения решения игры. Предположим сначала, что игра составлена таким образом, что существует ее решение в чистых стратегиях. Сначала определим наилучшую из стратегий игрока А, т.е. наилучшую из А₁, А₂, …, А_m с учетом того, что на любую стратегию A_i игрок B ответит стратегией B_j, для которой выигрыш игрока А окажется минимальным. Чтобы найти эту стратегию B_j, надо в строке платежной матрицы, соответствующей стратегии A_i (строке с номером i), найти минимальное из чисел a_ij. Обозначим его , т.е. где минимум определяется путем перебора всех номеров столбцов. При изменении стратегий игрока А соответствующее каждой из этих стратегий число тоже будет меняться. Естественно, что игроку А выгоднее всего остановиться на такой стратегии A_i, для которой значение будет максимальным. Обозначим это максимальное значение , т.е. или, учитывая выражение для , получим

Величину принято называть нижней ценой игры или максиминным выигрышем (сокращенно максимином). Стратегию игрока А, которой соответствует максимин , назовем максиминной стратегией.

Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то ему при любом поведении игрока В гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше, чем . Поэтому величину называют нижней ценой игры, т.е. это тот гарантированный минимум, который получит игрок А в данной игре.

Аналогично можно определить наилучшую из стратегий игрока В. Он стремится обратить выигрыш игрока А в минимум. Для этого игрок В старается для каждой своей стратегии B_j получить максимальное значение выигрыша при любой стратегии игрока А, т.е. он ищет значение β_j такое, что

Однако игрок В не может рассчитывать на то, что игрок А позволит ему получить любой из выигрышей β_j. Единственно, на что может рассчитывать игрок В, так это на то, что получит выигрыш, который будет не меньше, чем величина β, определяемая выражением

 

Эта величина β называется верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Соответствующая минимаксу стратегия игрока В называется минимаксной стратегией. Это наиболее осторожная стратегия игрока В, обеспечивающая ему в любом случае проигрыш не больше β и, соответственно, выигрыш игроку А также не больше β.

В теории игр принцип осторожности, рекомендующий игрокам придерживаться максиминной и минимаксной стратегии, называется принципом минимакса. Он вытекает из предположения об осторожности игроков или из желания разрешить конфликтную ситуацию наилучшим для всех участвующих в ней сторон образом.

Если верхняя цена игры совпадает с нижней ценой, то их общее значение называется чистой ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением. Пара чистых стратегий дает оптимальное решение тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку.