19.2. Операции над нечеткими множествами.

Для того чтобы построить содержательную теорию нечетких множеств, одного определения мало – необходимо как минимум определить операции (такие как объединение, пересечение и т.п.) над нечеткими множествами, аналогичные операциям над обычными, четкими множествами. Сделать это позволяет аналогия между представлением четких и нечетких множеств в форме их функций принадлежности. Большинство операций над обычными множествами может быть сформулировано через операции над их функциями принадлежности. В то же время, функция принадлежности обычного множества является частным случаем функции принадлежности нечеткого множества, что позволяет непосредственно обобщать формулы для четких множеств на нечеткий случай. При этом при применении к четким множествам операция дает обычный результат.

Например, легко проверить, что четкое множество A является подмножеством четкого множества B тогда и только тогда, когда для всех

Точно так же определим и вложенность для нечетких множеств :

Рисунок 19.4. Сравнение определений пересечения нечетких множеств.

Определение 3. Пусть задано семейство нечетких множеств l A ~ , индексированных параметром l ÎL . Их пересечением будем называть нечеткое множество B~ с функцией принадлежности.

Рисунок 19.5.Пересечение нечеткого множества и его дополнения.

19.3. Задача достижения нечетко определенной цели.

19.4.Нечеткие отношения и их свойства.

Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений.

19.4.1.Основные определения.

Теория нечетких отношений находит также приложение в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда связи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах "связь присутствует", "связь отсутствует", либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако, подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Обычное неразмытое -арное отношение определяется как подмножество декартова произведения множеств

Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности

где в общем случае будем считать, что — это полная дистрибутивная решетка. Таким образом, — это частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани и операции пересечения и объединения в удовлетворяют законам дистрибутивности. Все операции над нечеткими отношениями определяются с помощью этих операций из . Например, если в качестве взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями пересечения и объединения в будут, соответственно, операции и , и эти операции будут определять и операции над нечеткими отношениями.

Далее мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений, являющихся отображением на отрезок , т.е. .

Если множества и конечны, нечеткое отношение между и можно представить с помощью его матрицы отношения, первой строке и первому столбцу которой ставятся в соответствие элементы множеств и , а на пересечении строки и столбца помещается элемент (см. табл.19.5).

Таблица 19.5.
	0	1	0,5	0,8
	0,7	0	0,6	0,3
	0	0,7	1	0,4

В случае, когда множества и совпадают, нечеткое отношение называют нечетким отношением на множестве X.

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором каждая пара вершин из соединяется ребром с весом .

Пример. Пусть и , тогда нечеткий граф, изображенный на рис рис. 19.6, задает некоторое нечеткое отношение .

Рисунок 19.6.Нечеткий граф.