12.15.Выводы

Вербальный анализ решений предназначен для исследования неструктуризованных проблем, имеющих качественное, словес­ное описание.

Методы вербального анализа решений позволяют сохранить качественное описание проблемы на всех этапах ее анализа. В них применяются качественные способы измерений и порядко­вые шкалы оценок по критериям. Для построения решающего правила используют психологически корректные операции по­ лучения информации от ЛПР. Полученная информация прове­ряется на непротиворечивость. Методы вербального анализа решений позволяют ЛПР постепенно формировать решающее правило.

Одним из проверенных практикой методов вербального анализа решений является ЗАПРОС, который позволяет строить частич­ный порядок на множестве многокритериальных альтернатив. Метод устойчив к возможным неточностям в оценках альтерна­тив и к возможным ошибкам ЛПР.

13.Функция полезности.

Понятие функции полезности возникло в теории потребитель­ного спроса при cравнении различных наборов товаров. Значение функции полезности на определенном наборе товаров выражает ценность или полезность данного набора для потребителя.

В задачах выбора значение функции полезности выражает полезность альтернатив.

Областью определения функции полезности U является .Областью значении- . Если функция полента и известна, то можно сравнить. любые две альтернативы с помощью отношения Ru , заданного формулой.

Будем считать, что все функции полезности обладают следующими двумя свойсвама, которые выделяют их из всех функций

а) Функции полезности монотонно возрастают по всем пере­менным: для любых х=<х1,…,хm>, y=<y1,…,ym> ,

Указанное свойство запишем в виде

б) Существуют две первые производные функции полезности U:

Гиперповерхность уровня функции U (х1,.... хm) определяется как множество точек x=<z1,....zm>, для которых U(х)=сonst. Гиперповерхности уровня функции полезности называ­ются кривыми безразличия, а семейство всех кривых безразли­чия—картой безразличия. Термин «кривая безразличия» связан с тем, что полезность любых двух альтернатив х и у, лежащих на одной такой кривой, одинакова: U(x) = U(y).

Введем на множестве U всех функции полезности отношение , если существует возрастающая функции φ(*) такая что для всех

Утвержденное 1. Пусть U1 U2. Тогда для любого множества

Доказательство. Пусть ,это значит что для всех выполнено U2(x)>U2(y). В силу U1(x)= φ(U2(x))> φ(U2(y))=U1(y) т.е. U1(x)>U1(y) и ,следовательно, . Этим доказано включение .

Обратное включение доказывается аналогично.

Утверждение 1 означает, что решение задачи (1) для всех функций одного класса эквивалентности совпадают.

Утверждение 2. Пусть . Тогда .

Разные функции полезности могут порождать одно и то же отношение Ru, которое, как следует из утверждения 4.3., однозначно определяет решение задачи(1). Поэтому далее будем использовать только такие свойства U, которые являются общими для всех функций, порождающих одно и то же отношение Ru.

Утверждение 3. Пусть , тогда

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

Аналогично откуда

Утверждение доказано.

Величина Ur(x)/Us(x) называется предельной нормой замены между r-м и s-m критериями в точке . Предельная норма замены между любыми двумя критериями в силу утверждения 3 является функцией на Однозначно определяемой классом эквивалентности [U], содержащим U.

Утверждение 4. Доказать что предельные нормы замены положительньны.

Пусть

Для любых двух альтернатив и

Таких что

В этом случае говорят, что для функции полезности U выполняется закон уменьшения предельных норм замены.

Положим , говорят что поверхности уровня выпуклы к началу координат, если множества Xm выпуклы при всех M.

Общие свойства функции полезности одного класса определяются их картами безразличия. Функцию полезности, для которой гиперповерхности уровня выпуклы кначалу координат, назовем К- выпуклой функции при m=2 приведен на рисунке.

Рис.13.1.

Функцию полезности, для которой все предельные нормы замены монотонны по каждой переменной, назовем K-гетеротонными. Знаки монотонности могут зависеть как от номера переменной так и от точки x=<x1,….,xm>. Функцию полезности назовем К-линейными, если ее гиперповерхности уровня представляют собой гирерплосколсти.

Полезность и функция полезности. При решении задач при­нятия решений для описания интересов ЛПР редко используется непосредственно отношение предпочтения. Это связано с тем, что бинарные отношения довольно неудобны для моделирования реальных систем и анализа этих моделей. Гораздо чаще использу­ются функции полезности.

Соответствие между отношением предпочтения f и функцией полезности f:А0 -> определяется условием (1)

Рассмотрим, каким ограничениям должно удовлетворять от­ношение предпочтения, чтобы можно было рассматривать вместо него функцию полезности. Эта задача является предметом изуче­ния математической теории полезности [3, 8].

Как отмечалось выше, отношение предпочтения - бинарное отношение на множестве исходов A0, удовлетворяющее, как мини­мум, свойству асимметрии. Для продуктивного использования, однако, необходимы дополнительные условия на отношение пред­почтения. При этом то, какие дополнительные предположения необходимо сделать, чтобы получить инструмент, с которым мож­но работать, не отходя в то же время от встречающихся в реальной жизни предпочтений - это вопрос, который на протяжении многих лет служил предметом дискуссий и продолжает обсуждаться до сих пор. Дело в том, что подобные дополнительные предположе­ния вводятся в виде аксиом, некоторых гипотез о закономерностях процесса выбора, и обоснованность введения тех или иных пред­положений отнюдь не бесспорна.

Приведем типичный набор таких аксиом (отметим, что неко­торые из перечисленных ниже аксиом зависимы). Другие примеры введения аксиоматики можно найти в [8].

Введем следующие аксиомы полезности:

1. Если > - отношение предпочтения (асимметричное), -отношение неразличимости, то для любых исходов x и y имеет место одно из событий: либо x> y, либо y > x, либо х y, то есть для любой пары исходов либо первый исход предпочтительнее второго, либо второй предпочтительнее первого, либо же исходы равно­значны. Если и , то эта аксиома выполняется всегда.

2. x x, для любого исхода x, то есть исход всегда неотличим от себя самого, что также очевидным образом следует из опреде­ления отношения безразличия.

1. Если x y, y z, то x z. Это - условие транзитивности отношения неразличимости, оно уже не столь очевидно. Существуют примеры достаточно логичных с точки здравого смысла предпочтений, когда эта аксиома не выполняется (см. ссылки в [3]).

2. Если x > y, y > z, то x > z (условие транзитивности отношения предпочтения).

3. Если x > y, y > z, то x > z, то есть если x лучше y ну равнозначно z, то x лучше z. На самом деле, эта аксиома вводит пред­положение о произвольно глубокой разрешающей способности агента - о том, что последний всегда может различить сколь угодно близкие ситуации.

4. Если x y, y > z, то x > z (аналогично аксиоме 5).

Этих предположений хватает [62], чтобы ввести функцию f(•) таким образом, чтобы выполнялось условие (1). Однако, их недос­таточно, чтобы определить эту функцию однозначно. И действи­тельно, в случае конечного числа исходов нестрогое упорядочение позволяет лишь выстроить их в порядке от наихудшего до наи­лучшего. Этой последовательности событий можно сопоставить любую последовательность возрастающих чисел, назначая в каче­стве значения функции полезности соответствующий элемент числовой последовательности (другими словами, функция полез­ности определена с точностью до монотонного преобразования).

Чтобы от отношения предпочтения перейти к определенной с точностью до линейного преобразования функции полезности, требуются дополнительные аксиомы (так называемые, аксиомы комбинирования), определяющие модель поведения в условиях неопределенности.

Пусть x и y - любые исходы из A₀ и 0 < r, s < 1. Тогда выраже­ние rx + (1-r)y будет обозначать исход, представляющий собой лотерею, которая реализует два исхода x и у с вероятностями r и (1-r) соответственно. Тогда от этой лотереи потребуем выполне­ния следующих условий:

7. rx+(1-r)y=(1-r)y+rx для любой лотереи r на x, y.

Это свойство коммутативности лотереи, имеющее лишь техниче­ ское значение. Оно, по сути, не ограничивает предпочтения.

7. r x + (1 - r) (s y + (1-s)z) = rx + (1- r) s y + (1 - r) (1 - s) z для любых лотерей s и r на исходах x, y, z A- Это свойство вводит предположение о том, что для ЛПР порядок лотерей не важен.

9. rx + (1-r)x = x (рефлексивность лотереи).

10. Если x z, то для любых y, r имеем

(rx + (1-r)y) ~ (rz + (1-r)y).

11. Если x > z, то для любых r > 0 и y имеем

(rx + (1-r)y) f (_rz + (1-r)y).

12. Пусть x > z > y. Тогда существует 0 < г< 1, такое, что (rx + (1-r)y) z. Эта очень важная аксиома имеет отдельное название - аксиома непрерывности.

В [3] доказано (теорема фон-Неймана-Моргенштерна), что, если для отношения предпочтения > выполнены аксиомы 1-12, то существует функция f: A0 —> R, что для любых x, y из A0 и любого

Эта функция единственна с точностью до положительного линейного преобразования, то есть если некоторая функция F(*) удовлетворяет условиям (2), (3), то F(x) =αC f(x) + |3 , где α > 0 и Р - некоторые константы (доказательство можно также найти в [2, 3, 7]).

Итак, предположений 1-12 достаточно, чтобы построить по отношению предпочтения функцию полезности, единственную с точностью до переноса координат и изменения масштаба [7, 8], то есть описать полезность в виде функции F(x) =0С f(x) + (3 , где

f(x) - некоторая известная функция, а константы а > 0 и (3 не опре­делены.

В постановках задач математической экономики и управления отношение предпочтения, как таковое, фигурирует крайне редко. Функция полезности в этом случае строится почти эмпирически (на самом деле при этом используются уже полученные, готовые результаты теории полезности [1, 2, 3, 5, 7, 8, 9]). Тем не менее, всегда необходимо помнить, что для корректного использования функции полезности Неймана-Моргенштерна, предпочтение, которым она определяется, должно удовлетворять аксиомам 1-12.

Выше была построена функция полезности отдельного агента. Однако задачей теории принятия решений и теории игр является исследование взаимодействия многих агентов. Поэтому интересен вопрос о том, как соотносятся друг с другом полезности разных агентов, как «привести к общему знаменателю» шкалы измерения их полезностей. Особенную актуальность этот вопрос представля­ет при рассмотрении игровых моделей, в которых игроки могут передавать друг другу полезность (так называемые игры с транс-ферабелъной полезностью, или ТП-игры, в отличие от игр с не-трансферабелъной полезностью, или НТП-игр, в которых передача полезности запрещена правилами игры). Передача полезности между игроками может принимать вид денежных выплат или передачи иных материальных ценностей. Поскольку целью таких платежей является воздействие на полезность (или выигрыш) игрока, понятно, что в этом случае частью описания исходов (на множестве которых определена функция полезности) должно быть количество денег или материальных ценностей, являющихся сред­ством обмена. Можно показать [7], что для того, чтобы уменьше­ние полезности «донора» d при передаче некоторого количества денег соответствовало пропорциональному увеличению полезно­сти «акцептора» a, их функции полезности Ft(*) должны иметь вид:

где Fi(*) - функция полезности игрока i, с, - сумма денег в его распоряжении, xi - остальные компоненты описания исхода для игрока i, а i(*) - полезность компонент x ситуации.

Если функции полезности имеют вид (4) для всех рассматри­ваемых индивидуумов, то говорят о существовании отделимого линейно трансферабельного товара. При этом соответствующим выбором масштаба функций предпочтения можно сделать прира­щения полезности при передаче некоторого количества денег не просто пропорциональными, но и равными по абсолютной величи­не. Наличие линейно трансферабельного товара облегчает иссле­дование моделей управления организационными системами.

13.1. Методы аппроксимации функции полезности.

Существую 3 метода аппроксимации: Методы обобщенного критерия Подиновского, Методы функций ценности, Методы «уклонений».

13.1.1. Методы обобщенного критерия Подиновского.

Методы аддитивной свертки.

Эти методы можно использовать тогда, когда функция полезности представлена в аддитивной форме:

Это представление существует, если выполняются аксиомы независимости

Методы max(min) свертки.

Эти методы применяются тогда, когда частные параметры логически сворачиваются [19]. Комплексный критерий при этом имеет следующий вид

. или

13.1.2. Методы функций ценности.

Методы мультипликативной свертки Кини .

Мультипликативная функция полезности существует тогда и только тогда, когда параметры взаимно независимы по полезности

,

где к- константа.

Методы полиаддитивной свертки.

В случае независимости параметров от своего дополнения по отношению интервалов функция ценности имеет вид [20].

13.1.3. Методы “уклонений”.

Методы “уклонения” от идеальной точки.

а) Метод Чарнса - Купера .

Все параметры сводятся в обобщенный параметр, имеющий смысл расстояния от рассматриваемой оценки до некоторой идеальной точки .

Чаще всего принимают обобщенный параметр вида

 

  б) Методы нормированной степенной метрики.

Целени в работе [22] используют следующую метрику

где -оптимальное значение по -му параметру;

-- максимально достижимое значение по -му параметру.

в) Метод компьютерного уклонения .

Компромиссная процедура решения многокритериальной задачи может быть записана в виде:

Весовые коэффициенты определяются равенствами

Критерии оптимальности состоит в минимизации компромисса У.

Методы “уклонений” от точки равновесия (“статус-кво”).

В этих методах применяются различные точки уклонения от точки равновесия.

а) Метод кооперативной теории игр

Метод Сцидаровского использует следующий вид меры уклонения

(6.4.19)

где - значение -го параметра в точке равновесия (“статус-кво”).

б) Метод теоретико-игровой .

В теоретико-игровой модели компромиссный вариант ищется в виде выпуклой оптимальной комбинации совокупности задач

(6.4.20)

при