11. Методы принятия решений в многокритериальных задачах и постулируемые принципы оптимальности.

Решающее правило, по существу, - это метод принятия решения, сформулированный аналитически, алгоритмически или словесно. Решающее правило должно приводить к такому упорядочению множества допустимых решений, которое соответствует содержательной постановке задачи, а также согласуется с принятыми допущениями и ограничениями и системой предпочтений ЛПР [7].

Выявление системы предпочтений в рамках многокритериальной модели дает возможность перейти к формированию решающего правила. Именно на этапе построения решающего правила проводится конкретизация понятия "предпочтение" и тем самым предопределяется упорядочение вариантов решений.

В действительности лишь незначительная часть решений в той или иной прикладной области принимается на основе научных рекомендаций.

В большинстве случаев люди вообще не принимают решений сознательно или намеренно. Основная часть действий, удовлетворяющих первичные (или биологические) потребности человека, производится автоматически, биологическими механизмами инстинктов и рефлексов. На втором месте по частоте применения стоит метод "проб и ошибок".

Достаточно естественным способом принятия решения является обращение к прошлому опыту, к стандартным, апробированным, стереотипным решениям.

Рассматривая вопрос формирования решающего правила, необходимо отметить, что решающее правило может быть задано в виде:

• аналитического выражения (например, метод обобщенного критерия);

• алгоритма (например, имитационная модель);

• словесной формулировки (метод Б. Франклина). Решающее правило, или метод принятия решения представляет собой способ сравнения наборов оценок по частным критериям (или векторных оценок) и вынесения суждений о предпочтительности одних наборов по отношению к другим. Методы, основанные на построении решающих правил, приводят множество альтернатив (допустимых решений) к такому упорядочению, которое соответствует содержательной постановке задачи и согласуется с ограничениями задачи и системой предпочтений ЛПР.

Методы принятия решений, или решающие правила классифицируются по различным признакам, например :

• по принципам построения - на эвристические и аксиоматические,

• по процедурам построения - на одношаговые и многошаговые,

• по назначению - на правила, приводящие к полному упорядочению множества допустимых решений, и правила, приводящие к частичному упорядочению [7].

Одношаговые методы основаны на однократном использовании некоторого решающего правила. Многошаговые - на многократном. Одношаговые процедуры, как правило, используются в задачах, требующих полного упорядочения решений, а многошаговые - в задачах, требующих частичного упорядочения.

Решающее правило, по существу, представляет собой алгоритм упорядочения векторных оценок (наборов оценок по частным критериям) на основе информации о системе предпочтений лица, принимающего решение. Поэтому решающие правила различаются между собой как видами используемой в них информации, так и самими алгоритмами обработки информации.

Пригодность того или иного решающего правила для конкретной задачи определяется возможностью получения необходимой информации, а также адекватностью используемого алгоритма обработки информации принятым и проверенным допущениям о предпочтениях ЛПР.

Аксиоматический подход предполагает принятие ряда аксиом о множестве решений, характере (структуре) предпочтений ЛПР, о возможностях получения определенных видов информации относительно предпочтений и т.д. Например, нормативная теория полезности Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна разработана, исходя из постулирования некоторой системы аксиом. Далее на основе аксиом строится мера на множестве индивидуальных предпочтений (т.е. функция полезности ), формулируется решающее правило, что, в конечном итоге, и позволяет упорядочить множество альтернатив.

Аксиоматический подход положен и в основу разработанной Д.Сэвиджем теории, позволяющей одновременно измерять полезность и субъективную вероятность. Предложенная модель носит название "субъективной ожидаемой полезности". В этой модели вероятность определяется как степень уверенности в свершении того или иного события.

На основе аксиоматического подхода построена и многокритериальная теория полезности. Существуют и другие ( аксиоматические подходы к построению решающих правил как основанные на построении функции полезности, так и не требующие ее построения. Решающие правила, разработанные на эвристическом подходе, включают некоторые соображения, которые не могут быть подкреплены четко сформулированными правилами, допущениями и ограничениями, и фактически выводятся на основе функций полезности. Так, например, в работе [7] предложено три группы решающих правил.

В первой группе постулируется свертывание множества критериев Е1, Е2, ...Еn в один интегральный, линейной или квадратичной формы. Значения постоянных коэффициентов при переменных (критериях E1, i=l, n) устанавливают на основе информации о предпочтениях. Здесь постулируется не только факт существования интегральной оценки, но и конкретный вид этой оценки.

Вторая группа ориентирована на использование ограничений на критерии. Здесь можно выделить два направления:

• методы, являющиеся комбинацией методов главного и обобщенного критериев, где на некоторые критерии накладываются ограничения в соответствии с требованиями ЛПР, а из других критериев конструируется обобщенный критерий, который и максимизируют с учетом принятых ограничений;

• методы, основанные на идее последовательных уступок. Критерии предварительно должны быть упорядочены по убыванию важности. Затем проводится оптимизация по первому - наиболее важному критерию. На следующем шаге назначают величину "допустимой" уступки (снижения) первого критерия и производится оптимизация второго по важности критерия и т.д. На каждом шаге при оптимизации очередного критерия добавляется ограничение в виде уступки по допустимому снижению показателя предыдущего шага. Дополнительная трудность этого метода в назначении величин уступок. К методам этой (второй) группы относится метод последовательной оптимизации [21]. Основная идея метода в равномерности достижения качества по всем критериям, справедливых уступках и т.п. Действительно, использование подобных принципов практически сводит многокритериальную задачу к однокритериальной. Однако возникает проблема обоснования самих принципов.

Третью группу составляют методы, основанные на отыскании компромиссного решения. Чаще всего в данном случае речь идет о методах, ориентированных на гарантированный результат (максимин, минимакс). Смысл метода максимина в том, что наилучшим считается такое решение, при котором максимизируется всего один из критериев, а именно минимальный по значимости или по важности.

Но, поскольку все критерии, в общем случае, имеют различную измеримость, то и возможность сравнения их между собой проблематична, а следовательно, сложно проводить и совместную оптимизацию. Метод минимакса с точки зрения идеологии совпадает с методом максимина, но применим к таким критериям, для которых лучшими решениями являются решения, минимизирующие значение показателя. Такими критериями, например, являются стоимостные критерии, затратные, ресурсные и т.д. - критерии, которые соответствуют идее "экономии" (чем "экономичнее", тем лучше).

Среди достаточно большого числа разнообразных решающих правил, применяемых в задачах многокритериального выбора, к наиболее известным и часто употребимым могут быть отнесены следующие методы.

Метод обобщенного критерия (или линейная свертка) Суть метода обобщенного критерия в том, что вместо оценки альтернативы по множеству частных критериев (набору из "n" оценок ), оценку производят по одному обобщенному критерию, т.е. критерию, учитывающему все "n" оценок по частным критериям. Возможность оценки альтернатив по обобщенному критерию должна быть обоснована.

Обобщенный критерий для системы может быть выбран только в том случае, если все цели l(k) подчинены одной (общей или главной) цели из множества L. Тогда обобщенный критерий есть общий (или интегральный) критерий, удовлетворяющий общей цели из L и выражаемый через критерии (параметры результата или стоимости) e(k). В других случаях обобщенный критерий можно ввести формально, приняв некоторые допущения относительно целей.

Таким образом, вместо "n" различных критериев рассматривается один критерий, представляющий собой линейную комбинацию (т.е. сумму) всех частных критериев с учетом весовых коэффициентов. Весовые коэффициенты выполняют две функции - одна это приведение критериев разной физической природы к единой шкале, единой мере, одной размерности. А вторая функция характеризует значимость критерия, вес критерия, вклад критерия в общую сумму. Иными словами, оценка по критерию, имеющему большее значение весового коэффициента, т.е. более приоритетного, более значимого, должна вносить больший вклад в результирующий обобщенный критерий. Обобщенный критерий имеет вид:

где: E(i) - обобщенная оценка i-й альтернативы, e(i,j)-частная оценка i-й альтернативы по j-му нормированному критерию,

J = 1, n, a(j) - весовые коэффициенты, такие, что:

Весовые коэффициенты a(j) определяются как коэффициенты чувствительности общего критерия к единичным изменениям критериев e(i,)) любым из доступных методов:

• статистическим анализом,

• экспериментальным или расчетным путем,

• методом экспертных оценок.

Задача выбора и обоснования весовых коэффициентов, т.е. задача "назначения" коэффициентов не менее сложна, чем решение прямой многокритериальной задачи.