9.3.6.Система поддержки принятия решений Expert Choice

Популярность метода аналитической иерархии определя­ется, не в последнюю очередь, высоким качеством компьютер­ной системы Expert Choice, реализующей этот метод. Эта сис­тема поддержки принятия решений выпускается как коммер­ческий продукт. Она поддерживает построение иерархии на всех уровнях, дает примеры построенных иерархий.

Система допускает ввод информации при осуществлении парных сравнений в качественном и количественном виде, а также в графическом виде. Сразу после заполнения матрицы следует проверка согласованности суждений. ЛПР может полу­чить совет повторить сравнения, если индекс Т превышает зна­чение 0,1. На каждом этапе работы система может привести примеры и дать необходимые разъяснения для пользователя

9.3.7.Контрпримеры и противоречия.

Метод аналитической иерархии возник как эвристическое средство сравнения и выбора альтернатив. Хотя предпринима­ются усилия разработать аксиоматические основания метода, в большинстве публикаций он предстает как эвристический под­ход, апеллирующий к здравому смыслу пользователя.

Отметим, что подход АНР имеет большее число практиче­ских предложений, чем другие многокритериальные методы. Ежегодно проводятся конференции пользователей этого метода. Одновременно с этим публикуются статьи с анализом сущест­венных методологических недостатков основного метода АНР, предложенного в [1]. Найдено, что введение новой альтернати­вы может в общем случае привести к изменению отношений предпочтений между двумя другими альтернативами (rank reversals) [2].

Приведем иллюстративный пример. Пусть имеются два критерия и две альтернативы: Ai, A2. В табл. 9.8 представлены сравнения, позволяющие вычислить веса критериев.

Таблица 9.8.

В табл. 9.9 и 9.10 даны сравнения альтернатив по критериям.

Таблица 9.9.

Таблица 9.10

Подсчитаем показатели качества альтернатив: V(Al) =0,75 ® 0,75+0,25 <8> 0,25=0,625;

V(a2) =0,25 0 0,75+0,75 0 0,25=0,375.

Следовательно, Ai -» A2.

Добавим альтернативу Аз, сравнения с которой представле­ны в табл. 5.9 и 5.10.

9.4.Мультипликативный метод аналитической иерархии

Мультипликативный АНР, предложенный профессором Ф. Лутсмой [4,5], имеет другое методологическое обоснование.

В основу метода положены два основные положения. Во-первых, если ЛПР определяет отношения (а не абсолютные значения) двух элементов соответствующего уровня иерархии, то более логично перемножать такие отношения, чем суммиро­вать значения, полученные из сравнений. Во-вторых, переход от вербальных сравнений к числам должен происходить на ос­нове некоторых предположений о поведении человека при срав­нительных измерениях.

Начнем со второго положения. В психофизике [6] изучает­ся, как человек (без приборов) производит измерения объек тивных физических величин, таких как вес, громкость звука, яркость света и т.д. Результаты экспериментов показывают, что связь между субъективными измерениями двух стимулов и отношениями самих стимулов может быть представлена уни­версальным степенным законом:

где Si, S2 — стимулы; f(Si) — субъективное измерение стимула; Р — положительная постоянная; для звуковых сигналов 1000 Гц она приблизительно равна 0,3.

В качестве одного из примеров Ф. Лутсма приводит изме­рение громкости звука [6] в децибелах, как это принято в аку­стике. Пусть So — интенсивность звука, взятая в качестве опорной. Тогда

где dB(S) — интенсивность звука в децибелах по отношению к базовой интенсивности So.

Разность 10 дБ между интенсивностями звуков Si и S2 мо­жет быть записана как dB(Si) - dB(S₂) = 10. Откуда следует:

Иначе говоря, при увеличении интенсивности звука на 10 дБ расстояние на шкале субъективных измерений удваивается.

Ф. Лутсма предлагает аналогичным способом строить шка­лы для субъективного измерения различных факторов при при­нятии решений. Так, при покупке автомобиля одним из важ­ных критериев является цена. Предлагается установить значе­ния Cmin и С_тах - диапазоны цен, реальных для покупателя. Интуитивно мы делим этот диапазон на несколько интервалов, определяющих существенные для человека различия в уровнях цен. Известный в психофизике закон Вебера утверждает, что субъективное расстояние между двумя стимулами пропорцио­нально величине стимула. Тогда

где Q , Cj.i - субъективные восприятия различных цен; к — по­стоянная. Таким образом,

Итак, мы получили шкалу с геометрической прогрессией, с фактором прогрессии (1+к). Удобно ввести параметр шкалы p=ln(l+k), что позволяет определить деления шкалы как

Cj =exp(pj) Cmin, j=0,l,2...

Можно представить, что для цен на автомобили использу­ется вербальная шкала следующего вида:

• дешевый;

• немного более дорогой;

• более дорогой;

• существенно более дорогой.

К этим четырем категориям можно добавить промежуточ­ные и получить шкалу из 6—9 категорий с фактором прогрес­сии exp(lp)=l+k, равным приблизительно 2.

В общем случае переход от вербальных сравнений к числам задается шкалой, показанной в табл. 9.11.

Таблица 9.11 Шкала относительной важности

Итак, мультипликативный метод АНР предлагает выпол­нение следующих этапов.

1. Первичное измерение с помощью словесной шкалы; осуществление сравнения на всех уровнях иерархий.

2. Перевод результатов в количественный вид с помощью геометрической шкалы; обозначаем результат измерения Ъ\-при сравнении элементов i и j по критерию t.

3. Определение баллов, отражающих сравнительные оцен­ки важности альтернативы Ai по сравнению с альтернативой Aj по критерию t, с помощью преобразования г₍] =ехр(р8у). Та­ ким образом, осуществляется переход от матрицы попарных сравнений, заполненной с использованием геометрической шкалы, к матрице субъективной относительной важности эле­ментов иерархической схемы.

4. Подсчет коэффициентов важности альтернатив по крите­рию i. Сначала определяется геометрическое среднее каждой из строк в матрице субъективной относительной важности эле­ментов иерархической схемы — Wi (Aj) , где j=l,2,...,n. Затем эти показатели нормируются:

5. Определение аналогичным способом нормированных ве­сов wi на другом уровне иерархической схемы.

6. Определение ценности каждой из альтернатив с использованием мультипликативной формулы:

Приведем пример расчета ценности альтернатив по муль­типликативному методу АНР. Имеются те же четыре альтерна­тивы: А, В, С, D — варианты постройки аэропорта. Пусть пред­почтения между альтернативами оценены по вербальной шкале с шестью градациями: выбираем р=0,7. Коэффициенты важно­сти альтернатив по критериям подсчитываются в табл.9.12.

Таблица 9.12

Таблица 9.13.

Таблица 9.14.

В клетках таблиц представлены численное выражение вер­бальной сравнительной оценки (левый верхний угол) и значе­ние n (правый нижний угол).

Таблица 9.15.

Аналогичным образом вычисляем веса критериев (табл. 9.15). Определяем ценности альтернатив:

V(A) = (O.OO3)0-8 +(0.004)0-12 +(0.757)008 =1.51 V(B) = 1.916; V(C) = 1.807; V(D)= 2.278.

Получаем cледующее упорядочение альтернатив по ценности: D=>В=>С=> А.

Итак, альтернатива D оказалась лучшей.

Мультипликативный метод аналитической иерархии реа­лизован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT [7].