8.1. Общая характеристика алгоритмов

В соответствии со схемой, рассмотренной во введении, в зада­чах принятия решений формируют исходное множество альтерна­тив, а затем решают задачу выбора из ИМА. Алгоритмы форми­рования ИМА составляют существенную часть алгоритмического обеспечения задач принятия решений.

При отсутствии априорной информации о свойствах альтерна­тив в качестве исходного используют универсальное множество всех мыслимых альтернатив Ωу. Если решать задачу выбора при таком ИМА, то она оказывается сложной и не всегда разреши­мой. Чтобы избежать такой ситуации, используют свойства ре­шаемой задачи и выделяют в Ωy некоторую область возможных альтернатив Ωв. Можно считать, что Ωв=Соп (Ωу), где Соп1 — функция выбора, устанавливающая принадлежность альтернатив к множеству возможных. Альтернативы, принадлежащие множе­ству Ωэ\Ωв, никогда не могут быть решениями рассматриваемой задачи. Наличие дополнительной информации о свойствах задачи в виде технических, экономических и других ограничений позво­ляет выделить из Ωв множество допустимых альтернатив Ω, кото­рое примем за ИМА. Можно считать, что при этом решается задача <Ωв, ОП2>, где ОП2 —принцип оптимальности, выражаю­щий условие допустимости альтернатив.

Таким образом, в общем случае процесс формирования ИМА описывается схемой, включающей два этапа: порождения возмож­ных альтернатив и проверки их на допустимость. В конкретных алгоритмах этапы могут совмещаться. Это связано, в частности, с тем, что порождение возможных альтернатив и проверка на допустимость могут быть осуществлены с помощью одной и той же процедуры экспертной классификации при разных параметрах экспертизы.

Заметим, что алгоритмы формирования ИМА в конкретных задачах принятия решений зависят от их специфики. В частно­сти, альтернативы можно рассматривать как целостные объекты (например, товары) или как объекты, наделенные структурой (Например, план отрасли как совокупность планов предприятий).Способ рассмотрения альтернатив определяет схему экспертизы для их порождения. В первом случае используют экспертов близкой квалификации; во втором—требуются эксперты с разными уровнями и областями знания. В одних случаях получают сами альтернативы, в других -правила или модели их порождения. При этом модель используют как генератор альтернатив.

При проверке допустимости альтернатив для конечных ИМА проверяют каждую альтернативу, для бесконечных- устанавливают границу допустимости для всею множества.

8.2. Алгоритмы формирования има

Для построения алгоритмов введем процедуру экспертного перечисления в виде экспертизы Э10.

Экспертиза Э10:

Ω=В(Ω)

Ωэ= Ω

L—эксперты изолированы;

Q—экспертам предоставляется множество Ω и вероятности Рi формула (8.2)

Отображение <р определяется следующим образом. Получить от каждого из N экспертов множество Xi альтернатив, которые, пo его мнению, следует включить в Ω *. Построить множество

(8.1.)

Найти мaтрицу R = (rij), i=1, N; j=1, n:

_{Вычислить:}

(8.2)

(Величина Pj рассматривается как вероятность того, что j-я альтернатива принадлежит множеству Ω*) Сформировать искомое множество альтернатив Ω*, включив в него альтернативы, для которщ Pj>P, где Р—заранее заданная величина, близкая к единице.

Обратная связь в экспертизе Э10 организуется следующим образом. Ответ каждого из экспертов рассматривается как ран-

жировка множества Ω ; j-я альтернатива получает ранг rij вы­числяемый по формуле (1). Подсчитывается коэффициент конкордации W полученных N ранжировок по формуле (2.13). Если W меньше заранее заданного уровня Wo, то экспертам предостав­ляются множество Q и вероятности Рj и проводится следующая итерация экспертизы Э10. В противном случае экспертиза закан­чивается.

Алгоритм 1. Формирование конечного ИМ А. Для порожде­ния альтернатив и проверки их на допустимость используется экспертиза Э10.

Алгоритм реализуется следующей последовательностью шагов:

1.Выделить Ωв из Ωy с использованием Э10, в которой Ω=Ωэ, Ω* = Ωв.

2.Выделить Ω из Ωв с использованием экспертизы Э10, в ко­торой Ω = Ωв, Ω* = Ω.

Алгоритм 2. Формирование ИМА с помощью модели. Пусть непосредственное порождение Ωв с помощью экспертизы Э10 невозможно, но известен регулярный способ (модель) порож­дения любой альтернативы из Ωв. Например, пусть заданы пра­вила построения возможных расписаний авиарейсов; в то же время число всех вариантов расписаний настолько велико, что их сов­местный анализ эксперту провести не удается. Параметры модели заранее не известны, но могут быть найдены экспертами.

Алгоритм 2 реализуется следующей последовательностью шагов:

1. С помощью экспертизы Э1 определить числовые параметры модели.

2. Используя модель, найти множество Ωв возможных аль­тернатив.

3. Найти множество Ω с использованием экспертизы Э10, в которой Ω = Ωв, Ω * = Ω .

4. Сравнить величину q=| Ω |/| Ω в| оценивающую качество использованной модели, с заранее заданным числом р. Если q>p,то алгоритм прекращает работу. В противном случае провести корректировку модели и перейти к шагу 1.

Рассмотрим одну из модификаций общего алгоритма 2, извест­ную под названием алгоритма, или метода морфологического анализа.

Алгоритм 3. Морфологический анализ. Общая схема здесь сохраняется той же, что и в алгоритме 2. Особенность состоит в том, что фиксируется конкретная модель порождения альтер­натив и используется другая процедура проверки допустимости. Морфологический метод предполагает представление каждой аль­тернативы в виде составных частей (компонент). Под компонен­тами понимаются части, на которые условно разделена альтернатива. Компонентами могут быть как некоторые измеряемые параметры, так и отдельные структурные части альтернативы. Например в задаче выбора комплекса технических средств для создания ав­томатизированной системы управления альтернативу можно пред­ставить с помощью следующих компонент: тип ЭВМ, число пери­ферийных устройств, системное устройство ввода, системное устройство вывода, математическое обеспечение.

Обозначим множество возможных вариантов i-й компоненты через Хi = {хi1,xi2,…,хik} (i=l,n). Тогда множество альтер­натив Ωв представимо в виде Ωв=Х1 х…х Хn.Такое представление задает конкретную модель порождения возможных аль­тернатив.

Для проверки допустимости используем экспертизу, в результате которой выделим подмножество J = {j1,..., ji} {1, ..., n}, и укажем множество V наборов вариантов компонент ,которые совместно недопустимы.

Алгоритм 3 реализуется следующей последовательностью шагов:

1.Найти множества Х{ возможных вариантов i-й компоненты (i = 1,n) с помощью n экспертиз Э10, в которых Ω = Ωy, Ω* =Xi(ч ерез Ωy обозначено универсальное множество вариантов i-й компоненты).

2. Сформировать множество возможных альтернатив Ωв=X1x….Xn.

3. Найти множество {i1,..., il}, используя экспертизу Э10, в которой Ω=Xjx…Xi, Ω*=V

4.Найти множество V совместно недопустимых наборов вари­ антов компонент, используя экспертизу Э10.

5.Построить функцию F(x), x Ωв,:

где образуют i-й недопустимый набор, r = |V|,

6. Сформировать множество

Алгоритм 4. Формирование ИМА для иерархически струк­тур. Пусть альтернативы разбиты на части, иерархически свя­занные между собой. Например, допустимый план развития от­расли основан на допустимых планах предприятий, а планы пред­приятий—на планах цехов. Воспользуемся для формирования ИМА

иерархической экспертизой, которая представляет собой последо­вательность экспертиз, где каждая экспертиза использует резуль­таты предыдущих.

Рассмотрим два способа проведения иерархической экспертизы. Первый заключается в проведении экспертизы снизу вверх. Сна­чала проводят экспертизы на самом низком уровне иерархии. Их результаты служат исходными данными для проведения экс­пертиз на следующем уровне и т. д. Применительно к планированию ' это означает, что сначала определяют допустимые планы цехов, на их основе формируют допустимые планы предприятий и затем планы развития отрасли.

Второй способ заключается в проведении экспертизы сверху вниз. Здесь результаты экспертизы более высокого уровня слу­жат ограничениями при определении допустимых альтернатив более низкого уровня. Применительно к планированию сначала определяют допустимые планы развития отрасли, затем допусти­мые планы предприятий и допустимые планы цехов. Допустимыми для предприятия будут только такие планы, которые обеспечи­вают допустимость планов отрасли.

Воспользуемся первым способом проведения иерархической экспертизы. Пусть —элементы нижнего уровня в ие­рархической структуре альтернатив; элемент k-го уровня свя­зан с элементами (k—1)-го уровня (k = 2,d; r =1 ,ik).

Алгоритм 4 реализуется следующей последовательностью шагов:

1. Найти ИМА для элементов , пользуясь в каждом случае алгоритмом 1.

2. Положить Ωв ( ) =

3. Найти множество , используя экспертизу Э10, в ко­торой Ω= .

Повторить шаги 2 и 3 для всех элементов второго уровня.

Повторить шаги 2—4 при соответствующем изменении номеров уровней и элементов.

Алгоритм 5. Формирование бесконечного ИМА. Пусть аль­тернативы являются точками из Em. Тогда множества возможных и допустимых альтернатив образуют некоторые области в Еm. Формирование ИМА сводится к определению границ этих облас­тей. Будем считать, что множество возможных альтернатив огра­ничено, т. е. Ωв Хо, где — прямоугольный параллелепипед в Еm. Поэтому можно допустить, что Ωв известно и совпадает с Хо.

Идея алгоритма 5 состоит в аппроксимации множества Ω объе­динением допустимых множеств в виде параллелепипедов. Экспертам предъявляют реализации х равномерно распределенной в Ωв случайной величины. Они строят окрестность каждой реализации в виде параллелепипедов, состоящих из допустимых точек, если х допустима, и из недопустимых точек в противном случае.

Алгоритм 5 реализуется следующей последовательностью шагов:

1.Определить минимальное значение аi и максимальное значение ai оценок альтернатив по каждому из m критериев, используя экспертизу Э1 или Э2.

2. Положить Ωq = Eq = 0

3. Найти очередную реализацию х векторной случайной величины η, равномерно распределенной на Ωв = Xo.

4.Если содержится в то перейти к шагу 8, в противном случае-к шагу 5.

5.Рассмотреть пару {a, b}, где а означает, что альтернатива a допустима , b—что x недопустима. Решить задачу ранжирования пары {а, b}с использованием экспертизы Э4; точка х является допустимой, если получена ранжировка <a,b> и недопустимой, если получена ранжировка <b, а>. Если х допустима, перейти к шагу 6, в противном случае—к шагу 7.

6. Построить прямоугольный параллелепипед 6, состоящий из допустимых точек, с использованием любой из экспертиз Э1— ЭЗ. Положить и перейти к шагу 3.

7. Построить δ аналогично шагу 6. Положить Eq==EqUδ и перейти к шагу 3.

8. Положить N равным числу попаданий подряд точки х в множество (включая последнее попадание).

9.Определить вероятность

10. Найти величину N из соотношения при за-[ данной заранее доверительной вероятности Q.

11. При N < N перейти к шагу 3, в противном случае поло­жить Ω равным Ωq. Требуемая аппроксимация построена.