2. Метод троек.

Положим

Утверждение3. Величина является произведением векторов из точки а^i в а^j и a^k, где точки а^1,.., а^n— образы объектов А^1.... А^n.

Доказательство. Рассмотрим треугольник со сторонами Dij,Dik и Djk(риc. 2) По теореме косинусов в, откуда

левая часть (24) представляет собой скалярное произведение, а правая равна

Утверждение доказано.

Рис..7.8.

Таким образом, матрица является матрицей попарных скалярных произведений векторов, проведенных из точки в точки и .

Теорема 1. 1. Если матрица является положительно полуопределенной, то задача метрического шкалирования имеет точное решение.

2. Минимальная размерность r=min pi, где рi— ранг матрицы В^i.

3. В качестве образов объектов в пространстве Еr можно взять точки (s=1,n)

такие, что

Где и . (Знак Т означает транспонирование.)

Часть 3 теоремы позволяет построить алгоритм, задающий отображение q: Ωэ—>Ω.

3.Нелинейные методы. В рассмотренных методах отображе­ния являются линейными. Однако для матриц D определенного вида не удается построить линейное отображение q в пространство достаточно малой размерности с сохранением требуемой точ­ности. Поэтому используют нелинейные методы, основанные на итеративных процедурах. Выбирают точки а^1,..., а^n ε Еr. На каждой итерации смещают точки а^1,...a^n так, чтобы прибли­зить матрицу расстояний между ними к исходной матрице раз­личий D в смысле заданного критерия.

В частности, используют критерии вида

где р и q — произвольные действительные числа. Положим q = = —р и обозначим Sp = Sp<_p. При минимизации критерия S_1 точность приближения элементов Dij матрицы D зависит от их сравнительной величины: меньшие Dij отображаются точнее. При минимизации критерия S1 точнее отображаются большие значения. С учетом этого сначала используют критерий S_1 а затем—кри­терий S1.

4.Неметрическое многомерное шкалирование. Рассмотрим матрицу различий D. Упорядочим по возрастанию n^2 чисел, являющихся элементами матрицы D, и обозначим полученный порядок через r(А). Отобразим объекты Ai в пространство Еr и упорядочим по возрастанию n^2 чисел, являющихся элементами матрицы расстояний между точками a^i (i=l,....,n); полученный порядок обозначим через r (а).

Задача неметрического многомерного шкалирования состоит в том, чтобы построить отображение q в пространство минималь­ной размерности так, чтобы r(а)=r(А). Для этого делают сле­дующие операции:

1)Определяют ранжировку r(А) и нормируют элементы матри­цы D так, что минимальный равен нулю, а максимальный -единице.

2)Помещают n точек в n вершин правильного (n-1)-мерного симплекса, центр которого находится в начале координат, а ребра имеют длину 1. Координаты n точек a^1,...,a^n в (n-1)-мерном пространстве вычисляют по формулам

3)Для построенных точек вычисляют ранжировку r(а) и сравнивают (A). Если r(а) = r(А), то вычисления прекращают. В противном случае нормируют матрицу расстояний X между точками также, как матрицу D. Элементы пронормированных матриц обозначают через Dij и xij соответственно

4)Находят новые значения координат точек по формулам :

I

5)Полагают , вычисляют ранжировку r(а) и повторяют приведенные операции.

5. Одномерное шкалирование. Введем экспертизу Э9:

Ω=En;

Ωэ—такое же, как в Э5;

L-эксперты изолированы;

Q-обратная связь отсутствует.

Отображение φ: Ωэ- Ω будет описано ниже.

Приведем операции, которые необходимо осуществить для построения ф.

1) Вычисляют матрицу ,где A- ранжировка, данная j-m экспертом. Элемент pij матрицы Р интерпретируют как вероятность предпочтения i-ro объекта j-му.

2) Находят Zij по формуле

с использованием таблиц нормального распределения, исходя из известных pij. Связь между Zij и pij показана на рис.3, где заштрихованная площадь под кривой равна рij. Величина Zij измеряется в единицах стандартного отклонения.

3)Образуют матрицу Z = (Zij). Подсчитывают сумму оценок и среднее значение Zi = Zi/n, Величину Zi принимают за искомую оценку объекта Ai (i=1,n)

4)Определяют величины Pi=G(Zi) по формулё (26), которые нормируют поформуле

Рис.7.9.

Р*i называют показателями относительной важности объектов.

5)Осуществляют проверку на непротиворечивость. Для этого по формуле (26) находят рij =G(Zi—Zj) и вычисляют разности ij между полученными значениями рij и исходными pij. Определяют среднее отклонение

если оно мало, то это свидетель­ствует о непротиворечивости по­лученных экспертных ранжиро­вок.

Пример 5 (использование Э9 для оценки относительной важности параметров самолета). В качестве экспертов приглашены 10 специ­алистов. Рассматривались следую­щие параметры: S—скорость полета; R—радиус действия; С—бое­вой потолок; Р—полезная на­грузка. Экспертам было предложе­но ранжировать названные пара­метры в порядке их важности.

Таблица 7.8.

Результаты показаны в табл. 4. Эксперт 7 расположил пара­метры по степени важности в порядке Р, R, S, С, а эксперт 2 — в порядке S, R, С, Р.

Сформируем матрицу А размера 4x4, в которой указано число случаев, когда один параметр важнее другого (табл. 5). Разделив элементы матрицы на 10, получим матрицу Р. С ее элементами осуществим все указанныё выше операции. Матрица Z, величины Zi и оценки Zi, приведены в табл. 6. Величины, необходимые для расчета относительной важности пара­метров, приведены в табл. 7.

Осуществим проверку на непроти­воречивость. Необходимые данные собраны в табл. 8. Среднее отклонение в данном случае равно 0,45482/6 = 0,0758. Наибольшее по абсолютной величине расхождение между pij и pij равно 0,17094; это свидетельствует о непротиворечивости ранжировок.

Таблица 7.9.

Таблица 7.10.

Таблица 7.11.

Таблица 7.12.