7.9.2. Алгебраический метод.

Как указывалось в начале главы, суть алгебраических методов обработки экспертной информации состоит во введении некоторого расстояния между оценками. Задача состоит в сопоставлении cистеме нестрогой ранжировки. Для ее решения используется экспертиза Э7:

Ω—множество всех нестрогих ранжировок п объектов (вид Ω будет указан ниже);

Ωэ= Ω

L— эксперты изолированы;

Q—обратная связь отсутствует.

Отображение φ определяется следующим образом. Результирующая оценка Ао находится из формулы

где d—расстояние между ранжировками.

Дадим описание нестрогих ранжировок и определим расстояние d между ними. Ранжировки (т. е. элементы Ω) будем задавать матрицами A=(aij), в которых аij=1 тогда и только тогда, когда i-й.объект предшествует j-му; если объекты i и j равноценны, то аij=0; кроме того, аij = 0 (i = l, n); аij = 1=>aij = — 1.

Будем говорить, что ранжировка С находится между ранжи­ровками А и В, если aij<Cij<bij для всех i, j=1, n или aij> сij>bij Для всех i, j = 1, n.

Расстояние d между ранжировками вводится аксиоматически:

1. d(A, B)>0, причем d(A, B) = 0 тогда и только тогда, когда А = В.

2. d(A, B) = d(B, A).

3. d(A, B)+d(B,C)>d(A, С), причем равенство достигается тогда и только тогда, когда В находится между A и С.

4. Расстояние d инвариантно относительно обозначений. Эта аксиома означает, что при одинаковых перестановках объектов внутри ранжировок А и В расстояние между новыми ранжиров­ ками А' и В' равно d(A, В).

5. Если две ранжировки отличаются друг от друга только на части объектов, то расстояние между исходными ранжировками равно расстоянию между ранжировками только этих объектов.

6. Минимальное положительное расстояние между ранжиров­ ками равно единице.

Ранжировка Ао называется медианой Кемени - Снелла ранжи­ровок . Наряду с медианой Кемени—Снелла в качестве группового мнения используют ранжировку:

которая называется средним значением.

Пример 4. Пусть три эксперта упорядочили три объекта и полученные ранжировки имеют вид A=<х, у, z>, B = <x, у, z>, C <y, х, z>. Выпишем соответствующие матрицы, обозначив их теми же буквами,что и ранжировки.

Пользуясь выражением (16), вычислим расстояния; d(A,B) = 0, так как аij = bij (i,j=1..3), d{A.,C)=d(B, С) = 2.

Если взять в качестве медианы ранжировку А или В, то сумма расстояний от нее до всех ранжировок равна 2. Если взять любую другую ранжировку, то сумма расстояний от нее до всех осталь­ных окажется больше. Например, для ранжировки D = <.x, z, у> матрица имеет вид

расстояния d(A, D) = d(B, D) = 2, d(C, D) = 4. Сумма расстояний от D до исходных ранжировок А, В, С равна 8.

7.9.3 Методы шкалирования.

Методы шкалирования в простейшем случае используются в экспертизах следующего типа. Эксперты оценивают попарные различия между объектами, указывая соответствующие числа.Задача состоит в сопоставлении каждому объекту точки пространства Еr, а всей системе, состоящей из n объектов, n точек в Еr так, чтобы расстояния в Еr между точками были достаточно близки к указанным экспертами числам. Таким образом, решением задачи оценивания, в этом случае является вектор длины «г. Для 3». его получения используется экспертиза Э8:

L- произвольное;

Q-произвольное.

Отображение φ имеет вид (1.2): , где ψ –произвольная композиция функций выбора С1 ..., Cn.

Дадим необходимые пояснения. В качестве множества допустимых оценок Ω взято , поскольку во многих методах размерность r заранее не указывается; Ω= Ek, где k = , поскольку эксперты задают матрицу попарных различий n объектов. Произвольность некоторых параметров означает, что они не оказывают влияния на отображение q: Ωэ —> Ω. Различным типам отображения q соответствуют различные методы шкалирования. Поэтому, далее, до метода одномерного шкалирования, который используется при отличной от Э8 экспертизе, будут рассмотрены способы задания q без указания остальных параметров Э8.

Отображение q задается не формулами, а в виде алгоритмов, сопоставляющих матрице различий D точку из Е. Во всех случаях задача многомерного метрического шкалирования состоит в следую­щем. Задана симметричная матрица различий D = (Dij) между п объектами А1 ..., Аn. Нужно найти координаты точек сопоставленных объектам так, чтобы матрица X = (xij) pacстояний между этими точками в Еr была возможно более близка к исходной матрице различий D в смысле некоторого заранее; выбранного критерия. Если критерий обращается в нуль, то говорят, что задача имеет точное решение.

1. Метод простой ординации. Пусть —точки в пространстве Еn, соответствующие объектам А1 ...,Аn. Рассмотрим способ их построения.

В качестве А1 и А2 выберем объекты, расстояние Dij между которыми в исходной матрице D максимально. Сопоставим им точки а^2 и а^8 по правилу : Полученные точки содержатся в подпространстве E1 образованном первой осью En.

Пусть Еr-r-мерное подпространство, образованное осями с но­мерами 1, ..., r, в котором уже найдены точки а^1, а^2, ..., а^r+1, являющиеся образами исходных объектов А1,А2, ..., Аr+1. У этих точек в Еn все координаты, начиная с (r+1)-й, равны нулю. Найдем проекции остальных точек в Еr, исходя из заданных расстояний Dij между объектами Ai и Aj (i, j= 1,n). Зафиксируем k>r+1. Пусть проекция а^k в Еr имеет координаты , ..., , пока неизвестные. Обозначим через hk расстояние между а^k и подпространством Еr. Тогда условие равенства рас­стояния между точками а^i и а^j и расстояния Djk между соответ­ствующими объектами имеет вид

Откуда

Левая часть не зависит от j. Приравнивая правые части при l и при l+1, получим систему

г уравнений относительно неизвестных . Преобра­зуя , получим систему

r линейных уравнений относительно r неизвестных . Решив ее при k =r + 2, n, найдем проекцию точки а^к в Еr (k = r + 2, n). С помощью найдем hk при k = r + 2, n и поло­жим .

Выберем объект А, такой, что hj= max hk. Сопоставим ему в пространстве Еn точку , где —решение системы (20). Перенумеруем объекты Ar+2,..., Аn так, чтобы выбранный объект имел номер a^r+2. Таким образом, получим координаты точки a^r+2 и проекции точек а^r+3, ..., а^n в пространство Еr+1.

Положим r = r+1 и подсчитаем сумму

попарных расстояний между проекциями точек а^1,..., а^n в Еr.

Введем критерий 1— S1/S где

Если значение критерия меньше заранее заданной величины е, то вычисление координат точек прекращают и образами объектов A^1, ...,А^n считают проекции точек а^1, ...,а^n в Еr. В резуль­тате построено отображение q: Ω—> Ωэ.