31.2. Седловая точка и задача нелинейного программирования.

Рассмотрим функцию Лагранжа  

Определение 31.2.1. Пара векторов  называется седловой точкой функции Лагранжа , если при всех  выполняется условие

                        (31.28)

Неравенство (5.28) называют неравенством для седловой точки. Очевидно, что в седловой точке выполняется условие

            (31.29)

Между понятием седловой точки функции Лагранжа и решением задачи НП существует взаимосвязь, которая устанавливается в следующей теореме.

Теорема 31.2.1. Пусть  и все  выпуклы и функции  удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор  является решением задачи НП (5.1), (5.2) тогда и только тогда, когда существует такой вектор , что

                   (31.30)

и

                          (31.31)

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий теоремы. Пусть - седловая точка функции . Тогда из правого неравенства (31.26) получим

    (31.32)

Поскольку , а , то  . Вместе с тем  согласно с (31.31). Поэтому из (31.30) следует неравенство

для всех , удовлетворяющих ограничениям задачи НП. Таким образом, - оптимальное решение задачи НП.

Перейдем к доказательству необходимости. Допустим, что -оптимальное решение задачи НП. Заметим, что система

                             (31.33)

не имеет решения, так как - точка минимума задачи НП. Отсюда следует также, что не имеет решений и следующая система:

                             (31.34)

Тогда согласно теореме Фана существуют такие  что

                       (31.35)

Поскольку

то

 для всех .                     (31.36)

Если же в (5.35) положить , то получим

                                 (31.37)

Сравнив (31.36) с (31.37), получим

                                (31.38)

Тогда из уравнений (5.35) и (5.38) получим

                (31.39)

Таким образом доказано правое неравенство для седловой точки. Поскольку , то  при любом . Следовательно,

        (31.40)

Разделив обе части (31.40) на , получим левое неравенство для седловой точки:

Таким образом, теорема доказана.

Чтобы обеспечить условие , необходимо предположить существования условия регулярности Слейтера. В самом деле, пусть . Тогда выражение (31.3.39) пимет вид

                         (31.41)

Вместе с тем условие регулярности Слейтера утверждает, что существует такой вектор , что , и, следовательно, . Так как это противоречит уравнению (31.41), то предположения теоремы вместе с условием регулярности Слейтера обеспечивает ее справедливость.

      Таким образом, при выполнении условий теоремы 31.9 задача НП становится эквивалентной задаче отыскания седловой точки функции Лагранжа.

31.3. Применение теоремы Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования.

Више была рассмотрена задача НП в виде (26.1), (26.2), когда на переменные  не накладывались условия неотрицательности. Тем не менее часто в задачах исследования операций приходится решать задачи, в которых переменные по физическим условиям должны удовлетворять условию для всех .

Покажем, как основные положения изложенной теории можно распространить и на этот случай. Действительно, пусть задача НП имеет вид:

минимизировать                        (31.42)

при ограничениях        

                          (31.43)

                                (31.44)

Введем обозначения . Тогда ограничения (31.44) можно записать в общем виде:

                           (31.45)

Когда задача задана в каноническом виде. Применим к ней теорему Куна-Таккера, для чего составим функцию Лагранжа:

               (31.46)

где - множители, связанные с ограничениями . Условия теоремы Куна-Таккера для (31.46) выглядят так:

                    

или

     (31.47)

                         (31.48)

                       (31.49)

Условия (31.47), (31.48), (31.49) можно записать в следующей эквивалентной форме:

        (31.50)

                        (31.51)

Нетрудно увидеть, что условия (31.51) представляют собой условия дополняющей нежесткости для ограничений неотрицательности.

Таким образом, найдены необходимые условия для оптимального решения задачи НП вида (31.42) - (31.44), которые можно сформулировать в следующей теореме .

Теорема 31.10. Пусть задача НП задана в виде (31.42) - (31.44), а функции  и дифференцируемы и выпуклы (по x). Вектор  является оптимальным решением задачи НП тогда и только тогда, когда существует такой вектор , что пара  является седловой точкой функции Лагранжа, то есть выполняются такие условия :

                         (31.52)

                        (31.53)

                      (26.54)

 .           (26.55)

Задача (31.42) - (31.44) при условиях, что все - выпуклые функции, является задачей выпуклого программирования. Ограничения , определяют выпуклое множество, и требуется найти минимум выпуклой функции  на выпуклом множестве решений . Рассмотрим задачу вогнутого программирования.

максимизировать                           (31.56)

при ограничениях

                                 (31.57)

                                     (31.58)

где  и все функции вогнуты по .

Покажем ее эквивалентность задаче выпуклого программирования (31.42) - (31.44). Для этого обозначим , и так как max f ~ min - f(x), то приходим к задаче:

минимизировать                           (31.59)

при ограничениях

                                 (31.60)

                                          (31.61)

Легко увидеть, что все функции  будут выпуклы по , а поэтому задача (31.59) - (31.61) - это задача выпуклого программирования. Итак, эквивалентность задач (31.56) - (31.58) и (31.42) - (31.44) установлена.

Нетрудно получить соответствующие признаки оптимальности для задачи (31.56) - (31.58), аналогичные условиям (31.52) - (31.55).

Теорема 31.3.1. Пусть задача НП задана в виде (31.56) - (31.58), а функции  , - дифференцируемы . Для того чтобы вектор  являлся оптимальным  решением этой задачи, необходимо, чтобы существовал такой вектор , для которого выполнялись бы такие условия:

а)                                                            (31.62)

б)                                                      (31.63)

в)                                               (31.64)

г)                                        (31.65)

Если функции  вогнуты, то условия (31.62) - (31.65) оказываются и достаточными.