30.1.3. Классические способы отыскания решения экстремальных задач.
Вспомним, какие алгоритмы поиска экстремума функции нам известны.
Рассмотрим
простейшую задачу о поиске минимума
дифференцируемой функции на отрезке.
Пусть
—
скалярная функция скалярного аргумента
,
заданная на отрезке
.
Требуется найти минимальное значение
на
.
Алгоритм, который дает для решения этой
задачи классический математический
анализ заключается в следующем:
1)
вычислить производную
;
2)
найти все решения
,
,...,
уравнения
=0
(стационарные точки);
3)
вычислить значения
,
,...,
,
,
;
4) выбрать среди этих значений минимальное.
Уже в простейшем случае возникает ряд вопросов. Как решать уравнение =0: не будет ли эта задача столь же сложна, как и основная проблема поиска экстремума? Что делать, если стационарных точек , ,..., очень много, или даже бесконечное многожество? Как организовать перебор и сравнение значений?
Еще
сложнее обстоит дело с функциями
нескольких переменных. Пусть
—
замкнутое подмножество
,
—
функция
переменных,
заданная на множестве
.
Для того чтобы найти минимальное значение
на
множестве
,
классический математический анализ
рекомендует
1)
найти все решения
,
,...,
уравнения
=0;
2) вычислить значения функции в этих точках;
3) вычислить все значения в границе множества ;
4) выбрать из указанных значений максимальное.
Очевидно, что даже если удается легко выполнить пп. 1), 2), то выполнить п. 3) практически невозможно. Таким образом, классический математический анализ не дает общего рецепта — для каждой задачи необходимо искать собственный метод решения. В задачах о поиске экстремума функции на некотором множестве , заданном системой равенств, наиболее распространенный метод исследования — метод множителей Лагранжа — состоит в отыскании стационарных точек функции Лагранжа.
Как поступают в классическом случае, например для следующей задачи: найти максимальное значение функции
=
на
множестве
={
}?
Для решения задачи строят функцию Лагранжа
=
+
.
Затем отыскивают точки безусловного экстремума как стационарные точки функции Лагранжа:
=
;
=
;
=
.
Решая
полученную систему уравнений, находим
искомые значения оптимального плана
,
,
значение задачи
=
,
а также число
,
называемое множителем Лагранжа.
30.1.4. Условие регулярности.
Будем
предполагать, что для задачи выпуклого
программирования справедливо следующее
условие: для каждого
существует
такая точка
Î
,
что
(
).
Это условие эквивалентно следующему,
которое принято называть условие
регулярности Слейтера:
существует такая точка
Î
,
что
>
.
30.1.5. Функция Лагранжа. Условия оптимальности.
Рассмотрим
-мерный
вектор
=
.
Функцию
=
+<
,
>,
где
,
вектор
Î
,
называют функцией Лагранжа основной
задачи выпуклого программирования.
Седловой
точкой функции
на
множестве
,
Î
,
называется пара (
,
)Î
,
что для всех
,
Î
выполнено
(30.6)
.
(30.7) можно записать в виде:
(30.8)
.
Последнее соотношение часто используется в теории матричных игр и характеризует седловую точку рассматриваемой игры: минимакс равен максимину.
(О достаточных условиях оптимальности задачи выпуклого программирования).
Если пара ( , ) является седловой точкой функции Лагранжа на множестве , Î , то — оптимальная точка основной задачи выпуклого программирования (30.3).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения функции Лагранжа и (30.6) получим:
(30.8)
=
+<
,
>£
+<
,
>£
+<
,
>.
Из левого неравенства следует, что для любого Î
(30.9) < , >£< , >,
а поскольку Î и это неравенство справедливо для любого Î ,то £0.
В частности, при =0 имеем: < , >=0. Если Î , то по определению £0, поэтому для всех Î будет
(30.10) < , >£0.
Поскольку (30.8) справедливо и для всякого , то получаем для всех Î :
>£ +< , >£ .
Так
как
Î
(ибо
Î
и
£0),
то получаем, что допустимый план
является
оптимальным.