7.4. Шкалы измерений, методы экспертных измерений.

Теоретически измерение - это построение шкал посредством изоморфного ото­бражения эмпирической системы с отношениями в численную систему с отношения­ми. Производное измерение выводит новую шкалу из других известных шкал. Хоро­шим примером производной шкалы может быть шкала плотности, полученная из ос­новных шкал для массы и объема.

По-видимому, шкала наилучшим образом представляется в терминах класса пре­образований, которые оставляют ее инвариантной, т. е. таких преобразований, ко­торые сохраняют содержащуюся в ней информацию.

Существующие шкалы приводятся ниже в порядке увеличения эффективности:

• Шкала наименований, единственная с точностью до любого взаимнооднознач­ного преобразования, которая состоит, по существу, из присваиваемых объектам наименований.

• Шкала порядков, которая упорядочивает объекты по рангам и инвариантна по отношению к монотонно возрастающим преобразованиям.

• Шкала интервалов, единственная с точностью до положительного линейного преобразования вида y =ax +b , a>0.

• Шкала разностей, инвариантная по отношению к преобразованию вида у=х + b.

• Шкала отношений (шкала, используемая для определения приоритетов), ин­ вариантная по отношению к положительным линейным преобразованию вида y=ax, a>0.

Существенной разницей между шкалой отношений и шкалой интервалов являет­ся то, что в первой за точку отсчета берется начало координат, в то время как вто­рой этого не требуется. Шкала отношений исторически возникла в измерениях час­тот при вычислении вероятностей.

Формально шкала - это тройка, состоящая из множества элементов S, бинарной операции «О» на элементах S и преобразования F элементов в действительные числа. В нашем случае S - множество видов деятельности или объектов S1,…,Sn.

Бинарный оператор «О» - бинарное, или попарное, сравнение элементов для вы­явления превосходства одного из них по отношению к заданному свойству. Напри­мер, мы пишем SiOSj, указывая этим на то, что Si, сравнивается с Sj, для выявления сравнительного превосходства, например, относительно веса, если элементы S - камни. Для определения преобразования F переводим парные сравнения в фор­му численных значений, представляющих парные сравнения, и составляем из них матрицу A, затем решаем задачу нахождения собственного значения, чтобы опре­делить точное соответствие между объектами и действительными числами. Весь этот процесс определяет преобразование.

Почему получается шкала отношений, когда используется МАИ? Нужно показать, что парные сравнения, определенные посредством бинарной операции, отобража­ются в шкалу отношений действительных чисел, соответствующих сравниваемым элементам. Например, если

В общем случае бывает трудно показать, какой вид шкалы используется, осо­бенно когда преобразование сложное и включает физические операции, например такие, как подъем и опускание ртути при изменении температуры. Для задачи, свя­занной с физической системой, вид используемой шкалы устанавливают эмпириче­ски. Тем не менее, когда имеют дело с абстрактной системой, нужен теоретический метод определения вида шкалы. Теперь мы знаем, что решение задачи нахождения главного собственного значения для положительных матриц единственно с точно­стью до положительного постоянного множителя. Поэтому преобразование дает множество действительных чисел aω1,…,aωn, по одному для каждого элемента S1,…,Sn, где a - произвольное положительное число, что точно соответствует оп­ределению шкалы отношений. Следует отметить, что шкала отношений, полученная из матрицы суждений, является нашей оценкой принятой основной шкалы отноше­ний, которая получилась бы, если матрица суждений была бы согласованной.

Дальше следуют полезные выводы по шкалам отношений. Можно сложить пару элементов одной и той же шкалы отношений и получить третий элемент, принадле­жащий той же самой шкале отношений. Следовательно, если у =ах и у = ах', то у+y’=a(x+x’) и множитель остается по-прежнему равным a. Однако ни произве­дение, ни частное двух таких элементов не принадлежит той же шкале отношений.

Следовательно, если уу' = а^2хх' и y/y′=x/x′, и ни один из этих двух элементов не принадлежит шкале отношений у=ах, так как множитель a ≠1 отсутствует у обоих. Полезно отметить, что сумма двух элементов из двух различных шкал отношений не принадлежит шкале отношений. Тем не менее произведение и частное принад­лежит шкале отношений, отличающейся от исходных шкал отношений, если a или b не равны единице. Чтобы убедиться в этом, напишем у=ax и y’=bx′ , получим у+y'=ax+bx' и

yy’=(ab)xx', у/у' =(a/b)x/x'. Итак, работая с двумя различными шкалами отношений и желая получить значимые числа в новой шкале отношений, следует умножать и делить, но никак не складывать или вычитать. Вот почему бес­смысленно складывать такие величины, как время и расстояние, но можно извлечь смысл из деления длины на время, получая скорость.

Теория измерений связана с некоторыми областями теории представления, тео­рии единственности, процедурами измерений и анализа ошибок. Теория представ­ления включает представление требуемых отношений посредством шкалы; единст­венность связана с допустимыми гомоморфизмами, которые сохраняют отношения; процедуры измерений оперируют с построением гомоморфизмов и анализ ошибок связан со способом подгонки ошибок.

В своей диссертации Л. Варгас показал, что МАИ является методом измерения. Во-первых, он сформулировал набор аксиом, которые характеризуют существование гомоморфизма между множеством альтернатив и множеством положительных действительных чисел (теорема представления). Во-вторых, показал, что гомоморфизм единственен с точностью до преобразования подобия (теорема единственности), т. е. множество допустимых преобразований гомоморфизма является множеством преобразований подобия. Таким образом, тройка, состоящая из множества альтер­натив, множества положительных действительных чисел (или его несчетного под­множества) и гомоморфизма, является шкалой отношения. Тем не менее эта шкала отношений является шкалой отношений только в узком смысле, т. е. её элементы не меняются при преобразовании.

Он подчеркнул также, что иерархическое измерение включает основное и про­изводное измерения и что в результате получается шкала отношений, единственная с точностью до того же самого преобразования подобия, что и второй уровень ие­рархии.