28.7.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности решения.

В области нелинейного программирования большое внимание было уделено определению необходимых и достаточных условий того, чтобы некоторый вектор решения х являлся локальным экстремумом. Однако структура задачи нелинейного программирования в общем случае такова, что

полностью критерий оптимальности еще не разработан. Вследствие этого здесь будут рассмотрены только некоторые особые случаи, но они достаточно важны и часто встречаются на практике. Условия, при которых некоторый вектор х является решением задачи нелинейного программирования, будут сформулированы в виде теорем без доказательств.

28.7.2.1. Нелинейное программирование без ограничений.

Постановка задачи:

минимизировать f(х), х принадлежит Еⁿ".

Для задачи нелинейного программирования, при отсутствии ограничений необходимыми условиями того, что х* — точка локального минимума, являются:

1) функция f(х) дифференцируема в точке х*;

2) Δf (х*) = 0, т. е. существует стационарная точка в х*.

Достаточные условия того, что х* — точка локального минимума, кроме приведенных выше условий 1 и 2, включают следующее:

3) Δ²f(х*)>0, т. е. матрица Гессе положительно определенная.

(Соответствующие условия для максимума те же самые, за исключением того, что матрица Гессе для f(х*), должна быть отрицательно определенной.)

На рис. 28.7.2.1.1. показано, что возможно существование минимума, который не удовлетворяет необходимым и достаточным условиям. Однако, если достаточные условия удовлетворены, х* обязательно будет точкой минимума.

Рис. 28.7.2.1.1.

28.7.2.2. Нелинейное программирование с ограничениями в виде равенств и неравенств.

Постановка задачи:

минимизировать f(х), х принадлежит Еⁿ", при ограничениях:

Необходимые условия того, что х* является точкой локального минимума, могут быть сформулированы в двух теоремах, первую из которых (теорема 2) можно назвать условиями первого порядка (потому что входящие в них функций предполагаются дифференцируемыми), а вторую (теорема 3) — условиями второго порядка (потому что входящие в них функции предполагаются дважды дифференцируемыми).

Начнем со следующего понятия: если х* — точка локального минимума, то значение функции f(х) не может уменьшаться при движении вдоль любой гладкой дуги, направленной из х* внутрь допустимой области. Пусть вектор v касателен к дуге, идущей из точки х*. Следуя Фиакко и Мак-Кормику, разделим ненулевые векторы v на три класса Vt, каждый из которых представляет собой множество v, определяемое следующим образом:

Все допустимые изменения х* попадают в объединение VyuV2,vi, если v содержится в V2, значение функции / (х) уменьшается, а если v содержится в Vv значение / (х) увеличивается или остается константой. По существу необходимое условие первого порядка представляет собой требование, чтобы множество V3 было пустым. Если V3 пусто, то существование множителей Лагранжа может быть доказано в виде следующей теоремы.

Теорема 28.7.2.2.1.

Если (а) вектор х* удовлетворяет условиям, функции f (x), gj (x) и hj (x) дифференцируемы и (в) в точке х* множество V3 пусто, то существуют векторы (множители Лагранжа) и* и w*, такие, что совокупность векторов х*, u*, w* удовлетворяет соотношениям:

В соотношении (5) функцию

можно рассматривать как обобщённую функцию Лагранжа. Следовательно уравнение (5) можно записать как

Чтобы выяснить, при каких условиях множество V3 оказывается пустым, необходимо еще одно понятие, а именно порядок ограничений. Начнем с ограничений первого порядка. Следуя известной работе Куна и Таккера, предположим, что x(ft) —допустимая точка, и, что функции h₁ (x), ..., h_m (x), g_m+1 (x), ..., g_p (х) дифференцируемы в точке х^к. К ограничениям первого порядка относятся такие, когда для каждой граничной точки множества ограничений, состоящего из ограничений в виде равенств и активных ограничений в виде неравенств, должна существовать гладкая кривая, заканчивающаяся в этой граничной точке и целиком лежащая внутри области, заданной ограничивающими поверхностями. Если х* соответствует локальному минимуму, то значения f(х) не могут убывать при перемещении вдоль такой кривой из точки х* внутрь допустимой области. Достаточным условием того, чтобы ограничения были первого порядка, является то, что все градиенты активных ограничений в виде неравенств и градиенты ограничений в виде равенств, взятые в некоторой пробной точке х*, линейно независимы. Убедиться в том, что множество Vs пусто, можно различными

способами, но лучше всего это сделать, опираясь на понятие ограничения первого порядка, что приводит к теореме 28.7.2.2.2.

Теорема 28.7.2.2.2.

Если функции f(х), H₁(х), ..., h_m(x), g_m+1 (x), ..., g_p (x) дифференцируемы в точке х*, и, если в точке х* ограничения являются ограничениями первого порядка, то необходимое условие наличия в точке х* локального минимума состоит в том, что существуют множители Лагранжа u* и w*, такие, что совокупность векторов х*, u*, w* удовлетворяет соотношениям (1) — (5) теоремы 28.7.2.2.1.

Чтобы учесть нелинейный характер функций, Мак-Кормик сформулировал необходимые условия второго порядка наличия в точке х* локального минимума. Предположим, что функции f(х), H₁(х), ..., h_m(x), g_m+1 (x), ..., g_p (x) дважды дифференцируемы в точке х^(k), удовлетворяющей условиям задачи.

Пусть v — любой ненулевой вектор, такой, что

Тогда если вектор v является касательным к некоторой дважды дифференцируемой кривой ψ(θ), θ≥ 0, вдоль которой g₁ (ψ(θ)) = 0 для всех активных ограничений в виде неравенств и h₁ (ψ(θ)) = 0 для всех ограничений в виде равенств, то в х^k ограничения являются ограничениями второго порядка. Достаточным условием того, чтобы в точке x^(k) ограничения были ограничениями второго порядка, является то, что градиенты активных ограничений в виде неравенств и градиенты ограничений в виде равенств в этой точке линейно независимы. Теперь можно сформулировать необходимые условия, при которых ограничения являются ограничениями второго порядка.

Теорема 28.7.2.2.3.

Если (а) функции f (x), h₁(x),..., h_m (x), g_m+1 (x), ..., g_p(x) дважды дифференцируемы в точке х* и (б) в х* выполняются классификационные условия ограничений первого и второго порядков, то необходимыми условиями наличия в точке х* локального минимума, является существование векторов w* = [w₁*,..., w _m *]^T и u* = [u*_m+1, ... u*_p), для которых

и (г) для любого ненулевого вектора v, такого, что v^T ∆g_j (х*) = О

для всех активных ограничений в виде неравенств и v^T ∆h_j (х*) = О

для всех ограничений в виде равенств, справедливо соотношение

Если условия v^T ∆g_j (х*) = О и v^T ∆h_j (х*) = О выполняются лишь при v = 0, то соотношение (6) удовлетворяется тривиальным образом, так как активные ограничения пересекаются, задавая, таким образом, единственное решение.

Достаточные условия того, что в точке х* имеет место изолированный локальный минимум , такие же, как и необходимые условия (а), (в) и (г) теоремы 28.7.2.2.3, если вместо (6) части (г) теоремы имеет место следующее условие: (г') для любого ненулевого вектора v, для которого v^T ∆g_j (х*) = О в случае активных ограничений-неравенств, v^T ∆g_j (х*) ≥ О для неактивных ограничений-неравенств и v^T ∆h_j (х*) = О для всех ограничений в виде равенств, справедливо следующее соотношение:

Другое достаточное условие дается теоремой 28.7.2.2.4.

Теорема 28.7.2.2.4.

Если функции f (x), h₁(x),..., h_m (x), g_m+1 (x), ..., g_p(x) дважды дифференцируемы по х, выполняются необходимые условия (A) — (E) теоремы 3 и детерминант матрицы Якоби для функций h_j (x), U_jg_j (x) и ∆L (x, u, w) no (x, u, w) не обращается в нуль в (х*, и*, w*), то в точке х* удовлетворяются фигурирующие в теореме 28.7.2.2.3 достаточные условия того, что в точке х* имеет место локальный минимум.